30 bài tập các dạng lượng giác 2024 (có đáp án)

Bài tập về các dạng lượng giác

I. Lý thuyết

1. Phương trình lượng giác cơ bản

- Phương trình sinx = a        (1)

    ♦ |a| > 1: phương trình (1) vô nghiệm.

    ♦ |a| ≤ 1: gọi α là một cung thỏa mãn sinα = a.

Khi đó phương trình (1) có các nghiệm là

                x = α + k2π, k ∈ Z

                và x = π-α + k2π, k ∈ Z.

Nếu α thỏa mãn điều kiện  và sinα = a thì ta viết α = arcsin a.

Khi đó các nghiệm của phương trình (1) là

                x = arcsina + k2π, k ∈ Z

                và x = π - arcsina + k2π, k ∈ Z.

Các trường hợp đặc biệt:

- Phương trình cosx = a        (2)

    ♦ |a| > 1: phương trình (2) vô nghiệm.

    ♦ |a| ≤ 1: gọi α là một cung thỏa mãn cosα = a.

Khi đó phương trình (2) có các nghiệm là

                x = α + k2π, k ∈ Z

                và x = -α + k2π, k ∈ Z.

Nếu α thỏa mãn điều kiện  và cosα = a thì ta viết α = arccos a.

Khi đó các nghiệm của phương trình (2) là

                x = arccosa + k2π, k ∈ Z

                và x = -arccosa + k2π, k ∈ Z.

Các trường hợp đặc biệt:

- Phương trình tanx = a        (3)

Điều kiện: 

Nếu α thỏa mãn điều kiện  và tanα = a thì ta viết α = arctan a.

Khi đó các nghiệm của phương trình (3) là

                x = arctana + kπ,k ∈ Z

- Phương trình cotx = a        (4)

Điều kiện: x ≠ kπ, k ∈ Z.

Nếu α thỏa mãn điều kiện  và cotα = a thì ta viết α = arccot a.

Khi đó các nghiệm của phương trình (4) là

                x = arccota + kπ, k ∈ Z

2. Phương trình bậc hai với một hàm số lượng giác

Định nghĩa:

Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác Là phương trình có dạng :

        a.f²(x) + b.f(x) + c = 0

với f(x) = sinu(x) hoặc f(x) = cosu(x), tanu(x), cotu(x).

Cách giải:

Đặt t = f(x) ta có phương trình : at² + bt +c = 0

Giải phương trình này ta tìm được t, từ đó tìm được x

Khi đặt t = sinu(x) hoặc t = cosu(x), ta có điều kiện: -1 ≤ t ≤ 1

3. Phương trình bậc nhất theo sinx và cosx

Xét phương trình asinx + bcosx = c (1) với a, b là các số thực khác 0.

Khi đó phương trình (1) được đưa về dạng 

Ở đó α là cung thỏa mãn 

Chú ý:

4. Phương trình đẳng cấp bậc 2, bậc 3 lượng giác

Định nghĩa: Phương trình đẳng cấp đối với sinx và cosx là phương trình có dạng f(sinx, cosx) = 0 trong đó luỹ thừa của sinx và cosx cùng chẵn hoặc cùng lẻ.

Cách giải:

Xét cosx = 0 xem có là nghiệm của phương trình không?

Xét cosx ≠ 0. Chia hai vế phương trình cho cos^kx (k là số mũ cao nhất) ta được phương trình ẩn là tanx.

Giải và kết hợp nghiệm của cả hai trường hợp ta được nghiệm của phương trình đã cho.

Hoàn toàn tương tự ta có thể làm như trên đối với sinx

5. Phương trình lượng giác đối xứng, phản đối xứng

Để giải phương trình trên ta sử dụng phép đặt ẩn phụ:

Thay vào (3) ta được phương trình bậc hai theo t.

Ngoài ra chúng ta còn gặp phương trình phản đối xứng có dạng:

                a(sinx - cosx) + bsinxcosx + c = 0 (4)

Để giải phương trình này ta cũng đặt

Thay vào (4) ta có được phương trình bậc hai theo t.

II. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Giải các phương trình lượng giác sau:

a) sin⁡x = sin⁡π/6

b)

c) tan⁡x=1⇔cos⁡x= π/4+kπ (k ∈ Z)

d) cot⁡x=tan⁡2x

Ví dụ 2: Giải các phương trình lượng giác sau:

a) cos²x-sin²x=0 ⇔cos²x-2 sin⁡x cos⁡x=0

        ⇔ cos⁡x (cos⁡x - 2 sin⁡x )=0

b) 2 sin⁡(2x-40º )=√3

⇔ sin⁡(2x-40º )=√3/2

III. Bài tập vận dụng

Bài 1: Giải các phương trình lượng giác sau:

a) sin⁡(2x+1)=cos⁡(3x+2)

b)

⇔ sin⁡x+1=1+4k

⇔ sin⁡x=4k (k ∈ Z)

Nếu |4k| > 1⇔|k| > 1/4; phương trình vô nghiệm

Nếu |4k| ≤ 1 mà k nguyên ⇒ k = 0 .Khi đó:

        ⇔sin⁡x = 0 ⇔ x = mπ (m ∈ Z)

Bài 2: Giải các phương trình sau

a) cos(3x + π) = 0

b) cos (π/2 - x) = sin2x

Lời giải:

Bài 3: Giải các phương trình sau

a) sinx.cosx = 1

b) cos² x - sin² x + 1 = 0

Lời giải:

Bài 4: Giải các phương trình sau

a) cos² x - 3cosx + 2 = 0

b) 1/(cos² x) - 2 = 0.

Lời giải:

Bài 5: Giải các phương trình sau: (√3-1)sinx = 2sin2x.

Lời giải:

Bài 6: Giải các phương trình sau: (√3-1)sinx + (√3+1)cosx = 2√2 sin2x

Lời giải:

Bài 7: 1/(sin² x)+tanx-1=0

Lời giải:

Bài 8: cosx – sin2x = 0

Lời giải:

Bài 9: cos2x + cosx – 2 = 0

Lời giải:

Bài 10: 1 + sin2x + cosx + sinx = 0

Lời giải:

⇔ 1 + 2 sin⁡x cos⁡x + 2(cos⁡x+sin⁡x ) = 0

⇔ cos²⁡x + sin²⁡x + 2 sin⁡xcos⁡x + 2 (cos⁡x+sin⁡x )=0

⇔ (sin⁡x + cos⁡x)² + 2 (cos⁡x+sin⁡x )=0

Xem thêm các dạng câu hỏi và bài tập liên quan khác:

30 bài tập tính giá trị lượng giác của góc anpha (2024) dễ hiểu nhất 

30 Bài tập về công thức lượng giác (2024) chi tiết nhất, có đáp án 

Công thức lượng giác 11 (2024) chi tiết nhất 

30 Bài tập về đường tròn lượng giác (2024) có đáp án 

40 Bài tập Xác định tính chẵn, lẻ của hàm số lượng giác (2024) có đáp án chi tiết