Nguyên hàm của hàm đa thức bằng phương pháp đổi biến số
1. Phương pháp giải
Cho hàm số u = u(x) có đạo hàm liên tục trên K và hàm số y = f(u) liên tục sao cho f[u(x)] xác định trên K. Khi đó nếu F là một nguyên hàm của f thì:
2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1. Tìm nguyên hàm của hàm số sau:
y = (2x + 3)5
Lời giải
Ta có:
Đặt u = 2x + 3; khi đó (*) trở thành:
Chọn A.
Ví dụ 2. Tính I = ∫(x2 + 2x)(x + 1)dx
Lời giải
Ta có:
Đặt u = x2 + 2x ta có:
Chọn C.
Ví dụ 3. Tính I = ∫x2(x3 - 4)6dx
Lời giải
Ta có:
Ví dụ 4. Tìm nguyên hàm của hàm số sau: y = (2x - 3x2)(x2 - x3 + 2)5
Lời giải
Ta có: (2x - 3x2)(x2 - x3 + 2)5.dx = (x2 - x3 + 2)5(x2 - x3 + 2)'.dx
= (x2 - x3 + 2)5.d(x2 - x3 + 2)
⇒ I = ∫(2x - 3x2)(x2 - x3 + 2)5 dx = ∫(x2 - x3 + 2)5.d(x2 - x3 + 2) (*)
Đặt u = x2 – x3 + 2; khi đó (*) trở thành:
Chọn A.
Ví dụ 5. Tính I = ∫(x3 + 3x)(x2 + 1)dx
Lời giải
Ta có:
Đặt u = x3 + 3x ta có:
Chọn B.
Ví dụ 6. Tính I = ∫(x2 - 2)(x3 - 6x)6dx
Lời giải
Ta có:
Đặt u = x3 - 6x ta được:
Chọn B.
Ví dụ 7. Tính I = ∫(x - 1)10dx
Lời giải
Ta có:
Chọn C.
Ví dụ 8. Tính I = ∫(x - 1)(x + 2)(2x + 1)dx
Lời giải
Ta có:
Chọn A.
3. Bài tập vận dụng (có đáp án)
Câu 1: Tìm nguyên hàm của hàm số: y = (3x2 - 2)2
Lời giải:
Ta có:
Chọn C.
Câu 2: Tìm nguyên hàm của hàm số: y = (3x - 2)3000
Lời giải:
Đặt t = 3x - 2 ⇒ dt = 3dx
Chọn A.
Câu 3: Tính nguyên hàm của hàm số y = (x2 + 2x)(x3 + 3x2 + 1)30
Lời giải:
Đặt t = x3 + 3x2 + 1 ⇒ dt = (3x2 + 6x)dx
Chọn D.
Câu 4: Tính I = ∫x(x - 1)(2x3 - 3x2 - 1)10 dx
Lời giải:
Đặt t = 2x3 - 3x2 - 1
⇒ dt = 6x2 - 6x = 6x(x - 1) dx
Chọn A.
Câu 5: Tính 
Lời giải:
Ta có:
Đặt t = 1 - x suy ra dt = -dx
Chọn C.
Câu 6: Tính I = ∫x(x - 1)209dx
Lời giải:
Ta có: x(x - 1)209 = (x - 1).(x - 1)209 + 1.(x - 1)209 = (x - 1)210 + (x - 1)209
⇒ I = ∫x(x - 1)209dx = ∫[(x - 1)210 + (x - 1)209]dx
Đặt t = x - 1 ⇒ dt = dx
Chọn A.
Câu 7: Tính I = ∫x(2x - 2)10 dx
Lời giải:
Ta có:
Đặt t = 2x - 2 ⇒ dt = 2dx
Chọn B.
Xem thêm các dạng bài tập liên quan khác:
30 Bài tập về Cách tìm nguyên hàm của hàm số mũ, hàm số logarit (2024) cực hay, có đáp án
40 Bài tập Tìm nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến số (2024) cực hay
40 Bài tập Tìm nguyên hàm của hàm phân thức bằng phương pháp đổi biến số (2024) cực hay, có đáp án
