40 Bài tập Tìm nguyên hàm của hàm số mũ, logarit bằng phương pháp nguyên hàm từng phần (2024) cực hay

Nguyên hàm của hàm số mũ, logarit bằng phương pháp

nguyên hàm từng phần

1. Phương pháp giải

a. Định lí

Nếu hai hàm số u = u(x) và v = v(x) có đạo hàm liên tục trên K thì ∫u(x)v'(x)dx = u(x)v(x) - ∫u'(x)v(x)dx. Viết gọn: ∫udv = uv - ∫vdu.

b. Cách đặt

Các dạng cơ bản: Giả sử cần tính I = ∫P(x).Q(x)dx

* Thông thường nên chú ý: “Nhất log, nhì đa, tam lượng, tứ mũ”

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Tính ∫x.lnx dx.

Lời giải

Chọn A.

Ví dụ 2. Tính ∫(x - 1)e^xdx.

A. (x - 1)e^x + e^x + C.

B. xe^x - e^x + C.

C. xe^x + C.

D. (x - 2)e^x + C.

Lời giải

Chọn D.

Ví dụ 3. Tìm nguyên hàm của hàm số: 

Lời giải

Chọn C.

Ví dụ 4. Tìm I = ∫(3x² - x + 1)e^xdx.

A. I = (3x² - 7x + 8)e^x + C.

B. I = (3x² - 7x)e^x + C.

C. I = (3x² - 7x + 8) + e^x + C.

D. I = (3x² - 7x + 3)e^x + C.

Lời giải

Sử dụng phương pháp tính nguyên hàm từng phần, ta có:

Đặt u = 3x² - x + 1 và dv = e^xdx

⇒ du = (6x - 1)dx và v = e^x. Do đó:

I = ∫(3x² - x + 1)e^xdx = (3x² - x + 1)e^x - ∫(6x - 1)e^xdx

Đặt u₁ = 6x - 1 và dv₁ = e^xdx ta có du₁ = 6dx và v₁ = e^x. Do đó:

∫(6x - 1)e^xdx = (6x - 1)e^x - 6∫e^xdx = (6x - 1)e^x - 6e^x + C.

Từ đó suy ra:

I = ∫(3x² - x + 1)e^xdx = (3x² - x + 1)e^x - (6x - 7)e^x + C = (3x² - 7x + 8)e^x + C.

Chọn A.

Ví dụ 5. Nguyên hàm của hàm số  bằng:

Lời giải

Ta có:

Chọn C.

Ví dụ 6. Giả sử F(x) là một nguyên hàm của hàm số:

Biết F(1) = 0. Vậy F(x) bằng:

Lời giải

Ta có:

Chọn B.

Ví dụ 7. Hàm số f(x) = x.e^x có các nguyên hàm là:

Lời giải

Ta có: ∫x.e^xdx = ∫xd(e^x) = x.e^x - ∫e^xdx = x.e^x - e^x + C.

Chọn D.

Ví dụ 8. Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = x²(3.lnx + 1).

Lời giải

Chọn C.

Ví dụ 9. Họ nguyên hàm của hàm số  qua phép đặt t = √x là:

A. F(t) = 2tln²t - 4t + C.

B. F(t) = 2tln²t + 4t + C.

C. 2tlnt² + 4t + C.

D. 2tlnt² - 4t + C.

Lời giải

Quan sát các đáp án ta thấy D đúng, vì 2tlnt² - 4t + C = 4tlnt - 4t + C.

Chọn D.

Ví dụ 10. Họ nguyên hàm của hàm số  là:

Lời giải

Chọn C.

Ví dụ 11. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: ∫(1 - 2x)e^xdx

A. e^x(2 - 3x) + C.

B. e^x(3 - 3x) + C.

C. e^x(3 - 2x) + C.

D. e^x(2 + 3x) + C.

Lời giải

Chọn C.

Ví dụ 12. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau ∫√x.lnx dx

Lời giải

Chọn D.

Ví dụ 13. Cho F(x) = x² là một nguyên hàm của hàm số f(x).e^2x. Tìm nguyên hàm của hàm số f'(x)e^2x.

A. ∫f'(x)e^2xdx = -x² + 2x + C.

B. ∫f'(x)e^2xdx = -x² + x + C.

C. ∫f'(x)e^2xdx = 2x² - 2x + C.

D. ∫f'(x)e^2xdx = -2x² + 2x + C.

Lời giải

Từ giả thiết ⇒ F'(x) = f(x).e^2x ⇔ (x²)' = f(x).e^2x ⇔ 2x = f(x).e^2x (1)

Đặt A = ∫f'(x).e^2xdx.

Đặt u = e^2x ⇒ du = 2.e^2xdx, dv = f’(x)dx. Chọn v = f(x)

⇒ A = e^2x.f(x) - 2∫f(x).e^2xdx = 2x - 2F(x) + C = -2x² + 2x + C.

Chọn D.

Ví dụ 14. Cho F(x) = (x - 1).e^x là một nguyên hàm của hàm số f(x).e^2x. Tìm nguyên hàm của hàm số f'(x).e^2x.

Lời giải

Chọn C.

Ví dụ 15. Cho  là một nguyên hàm của hàm số . Tìm nguyên hàm của hàm số f'(x)lnx.

Lời giải

Chọn C.

3. Bài tập vận dụng (có đáp án)

Câu 1: Tìm nguyên hàm của các hàm số sau ∫(2x + 3)e^-xdx

A. -e^-x(2x - 1) + C.

B. -e^-x(2x + 1) + C.

C. -e^-x(2x + 5) + C.

D. Đáp án khác.

Lời giải:

Chọn C.

Câu 2: Tính ∫x.2^xdx bằng:

Lời giải:

Chọn A.

Câu 3: Tính ∫lnxdx bằng:

Lời giải:

Chọn D.

Câu 4: Tính ∫2xln(x - 1)dx bằng:

Lời giải:

Chọn C.

Câu 5: Nguyên hàm I = ∫xln(x + 1)dx bằng:

Lời giải:

Chọn A.

Câu 6: Gọi F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) = x + ln(x + 1). Biết F(0) = 1, vậy F(x) bằng:

Lời giải:

Chọn A.

Câu 7: Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = (x² - 1)e^x

Lời giải:

Cách khác: Đối với nguyên hàm từng phần dạng:

∫f(x).e^xdx = f(x).e^x - f'(x).e^x + f''(x).e^x - ... + f^(k).e^x + C.

∫(x² - 1)e^xdx = (x² - 1)e^x - 2xe^x + 2e^x + C = (x² - 2x + 1).e^x + C.

Chọn A.

Câu 8: Tìm nguyên hàm H của hàm số f(x) = (3x² + 1)lnx

Lời giải:

Chọn A.

Câu 9: Tìm nguyên hàm H của hàm số f(x) = √x.lnx

Lời giải:

Chọn C.

Câu 10: Tìm nguyên hàm của hàm số sau: ∫x.lnxdx

Lời giải:

Chọn B.

Câu 11: Hàm số y = f(x) có đạo hàm f'(x) = x³.e^x2 và f(0) = 0. Chọn kết quả đúng:

Lời giải:

Chọn A.

Câu 12: Cho  là một nguyên hàm của hàm số . Tìm nguyên hàm của hàm số f'(x)lnx.

Lời giải:

Chọn A.

Xem thêm các dạng bài tập liên quan khác:

30 Bài tập về Cách tìm nguyên hàm của hàm số mũ, hàm số logarit (2024) cực hay, có đáp án

40 Bài tập Tìm nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến số (2024) cực hay

30 Bài tập Tìm nguyên hàm của hàm số lượng giác bằng phương pháp đổi biến số (2024) cực hay, có đáp án

40 Bài tập Tìm nguyên hàm của hàm lượng giác bằng phương pháp nguyên hàm từng phần (2024) cực hay, có đáp án

30 Bài tập Tìm nguyên hàm của hàm số mũ, logarit bằng phương pháp đổi biến số (2024) cực hay, có đáp án

30 Bài tập Tìm nguyên hàm của hàm đa thức bằng phương pháp đổi biến số (2024) cực hay, có đáp án

40 Bài tập Tìm nguyên hàm của hàm phân thức bằng phương pháp đổi biến số (2024) cực hay, có đáp án