Chọn A

Số phần tử của không gian mẫu .

Gọi A là biến cố 2 người được chọn đều là nữ, suy ra .

Xác suất để 2 người được chọn đều là nữ là: 

Chọn A

Gọi T là phép thử lấy mỗi hộp ra một quả. Số phần tử của không gian mẫu trong phép thử T là

Gọi A là biến cố hai quả lấy ra từ mỗi hộp đều là màu đỏ. Số phần tử của biến cố A là: .

Vậy xác suất của biến cốA là .

Chọn C

Số phần tử của không gian mẫu là: .

Gọi biến cố A: “ Hai người được chọn đều là nam”.

Vậy xác suất cần tìm là: .

Chọn B.

Không gian mẫu có số phần tử là .

Gọi A là biến cố: “Trong 5 bạn được chọn có cả nam và nữ, đồng thời số nam nhiều hơn số nữ”. Khi đó, số kết quả thuận lợi cho biến cố A là: .

Vậy xác suất cần tính là .

Chọn C

Có 2 bộ số {a;b;c} có tổng các chữ số bằng 5 là: {0;1;4}, {0;2;3}, mỗi bộ số có 3! hoán vị nên có tất cả 12 khả năng.

Do đó xác suất để người đó bấm máy một lần đúng số cần gọi là $\frac{1}{12}$.

Chọn C    

Mỗi bước người này có 2 lựa chọn sang trái hoặc phải nên số phần tử không gian mẫu là $2^{10}$.

Để sau đúng 10 bước người này quay lại đúng gốc tọa độ O thì người này phải sang trái 5 lần và sang phải 5 lần, do đó số cách bước trong 10 bước này là $C_{10}^5$.

Xác suất cần tính bằng .

Chọn B

Số phần tử của không gian mẫu là: 13! 

Gọi A là biến cố: “Thầy giáo đứng giữa 2 học sinh nam”

Bước 1: Xếp hai học sinh nam đứng cạnh thầy giáo có $A_8^2$.

Coi hai học sinh nam đứng cạnh thầy giáo và thầy giáo là một người.

Bước 2: Xếp 12 người quanh một bàn tròn có 11! cách.

Số kết quả thuận lợi của biến cố A là: $A_8^2$.11!

Vậy 

Chọn B

Số phần tử của không gian mẫu: 

Gọi A là biến cố thỏa mãn yêu cầu bài toán:

nên n(A) = 8

Vậy 

Chọn C

Số phần tử của không gian mẫu của phép thử gieo một con súc sắc hai lần liên tiếp là 36.

Để phương trình bậc hai $x^2$ + bx + c = 0 có nghiệm là  (*) với 

Gọi A là biến cố chọn cặp số (b;c) thỏa mãn trong đó 

Khi c = 1: Các giá trị của b thỏa mãn điều kiện (*) là: 2,3,4,5,6. Suy ra có: 5 cặp (b,c).

Khi c = 2: Các giá trị của b thỏa mãn điều kiện (*) là: 3,4,5,6. Suy ra có: 4 cặp (b,c).

Khi c = 3: Các giá trị của b thỏa mãn điều kiện (*) là: 4,5,6. Suy ra có: 3 cặp (b,c).

Khi c = 4: Các giá trị của b thỏa mãn điều kiện (*) là: 4,5,6. Suy ra có: 3 cặp (b,c).

Khi c = 5: Các giá trị của b thỏa mãn điều kiện (*) là: 5,6. Suy ra có: 2 cặp (b,c).

Khi c = 6: Các giá trị của b thỏa mãn điều kiện (*) là: 5,6. Suy ra có: 2 cặp (b,c).

Vậy, số cặp (b,c) thỏa mãn điều kiện (*) là 19

Chọn D

Gọi A là biến cố “Học sinh nhận được 6 điểm”.

Xác suất đánh đúng 1 câu là $\frac{1}{4}$và đánh sai 1 câu là $\frac{3}{4}$.

Để nhận được 6 điểm học sinh đó cần đánh đúng 12 câu và sai 8 câu.

Chọn D

Gọi $\Omega$ là không gian mẫu, ta có n($\Omega$) = $C_{15}^6$ = 5005.

Gọi A là biến cố: “6 quả lấy được có đủ ba màu”

$\overline{A}$: “6 quả lấy được không có đủ ba màu”.

TH1: 6 quả lấy được chỉ một màu đỏ có $C_6^6$ = 1cách.

TH2: 6 quả lấy được có hai màu

+ 6 quả lấy được có hai màu đỏ và xanh: có  cách.

+ 6 quả lấy được có hai màu đỏ và vàng: có  cách.

+ 6 quả lấy được có hai màu đỏ và xanh: có  cách.

Vậy 

Chọn A

Có 300 số tự  nhiên nhỏ hơn 300 nên n($\Omega$) = 300.

Số các số tự nhiên nhỏ hơn 300 mà chia hết cho 3 là: (297-0):3 + 1 = 100.

Số các số tự nhiên nhỏ hơn 300 mà không chia hết cho 3 là: 300 - 100 = 200 nên n(A) = 200.

Vậy 

Chọn B

Hộp có 3 + 5 + 7 = 15 viên bi.

Số phần tử của không gian mẫu là: .

TH1: Bốc được 4 viên trong đó có 2 viên bi đỏ, 1 viên bi trắng và 1 viên bi vàng.

TH2: Bốc được 4 viên trong đó có 1 viên bi đỏ, 2 viên bi trắng và 1 viên bi vàng.

TH3: Bốc được 4 viên trong đó có 1 viên bi đỏ, 1 viên bi trắng và 2 viên bi vàng.

Vậy số cách bốc 4 viên có đủ 3 màu là 105 + 310 + 315 = 630 cách.

Vậy xác suất cần tìm là: 

Chọn A

+ Ta có 

Ta có d có 4 cách chọn {2;4;6;8}, a có 9 cách chọn, b có 9 cách chọn. Vì a + b + d  khi chia cho 3 có 3 khả năng số dư 

{0;1;2}, mà  nên c có 3 cách chọn.

Ta có: 

Xác suất cần tìm là: 

Chọn A

Ta có

Gọi A là biến cố “lấy được 3 quả cầu màu xanh”.

Nên

Chọn D.

Lấy ngẫu nhiên 3 quyển sách có:  cách.

Gọi A là biến cố: 3 quyển được lấy ra có ít nhất một quyển toán.

Suy ra $\overline{A}$ là biến cố: lấy 3 quyển sách và không có quyển nào là quyển toán.

Khi đó

Chọn B                 

Ta có 

Do đó

Ta cũng có  => n(A) = 8

Vậy xác suất của biến cố A là P(A) = $\frac{8}{21}$

Chọn B

 Chiếc hộp chứa 6 quả cầu màu xanh và 4 quả cầu màu đỏ. Lấy ngẫu nhiên từ chiếc hộp ra 5 quả cầu nên số phần tử của không gian mẫu là 

Gọi A là biến cố: ”5 quả cầu lấy được có đúng 2 quả cầu màu đỏ”.

Lấy 2 quả cầu màu đỏ và 3 quả cầu màu xanh nên số phần tử của biến cố A là:

Xác suất cần tìm là:

Chọn C

Gọi biến cố A: “2 giáo viên tập huấn gồm 1 thầy giáo và 1 cô giáo”.

Suy ra .

Vậy .

Chọn B

Không gian mẫu: .

Gọi A là biến cố chọn tập hợp con gồm 3 phần tử và có tổng chia hết cho .

Trường hợp 1: Có 5 số trong tập S chia hết cho 3 nên chọn 3 phần tử có $C_5^3$ cách chọn.

Trường hợp 2: Có 6 số trong tập S chia hết cho 3 dư 1 nên chọn 3 phần tử  có $C_6^3$ cách chọn.

Trường hợp 3: Có 6 số trong tập S chia hết cho 3 dư 2 nên chọn 3 phần tử  có $C_6^3$ cách chọn.

Trường hợp 4: Chọn một phần tử trong tập S chia hết cho 3, một phần tử trong tập S chia hết cho 3 dư 1, một phần tử trong tập S chia hết cho 3 dư . Suy ra có 5.6.6 cách chọn.

Vậy xác suất cần tìm là P(A) .

Chọn C

Ta có  (vì chữ số 1 có mặt đúng 3 lần).

Xếp ngẫu nhiên 3 chữ số 2, 3, 4 có  (cách). Vì 3 chữ số 2, 3, 4 sau khi xếp sẽ có 4 vách ngăn (gồm 2 vách ngăn giữa và 2 vách ngăn đầu) nên số cách xếp các chữ số 1 không kề nhau tương ứng số cách xếp các chữ số 1 vào các vách ngăn là: $C_4^3$ (cách).

Vậy xác suất cần tính là: 

Chọn C

Số phần tử của không gian mẫu: .

Gọi biến cố : “Xếp 10 học sinh vào 10 ghế sao cho mỗi học sinh nam đều ngồi đối diện một học sinh nữ”.

Giả sử đánh vị trí ngồi như bảng sau:

Cách 1: Xếp vị trí $A_1$  có 10 cách. Mỗi cách xếp vị trí $A_1$ sẽ có 5 cách xếp vị trí $B_1$ .

Mỗi cách xếp vị trí $A_1$, $B_1$ có 8 cách xếp vị trí , tương ứng sẽ có 4 cách xếp vị trí $B_2$ .

Cứ làm như vậy thì số cách xếp thỏa mãn biến cố  là: 

Cách 2: Đánh số cặp ghế đối diện nhau là C₁, C₂, C₃, C₄, C₅

Xếp  bạn nam vào 5 cặp ghế có 5! cách.

Ở mỗi cặp ghế, ta có 2 cách xếp một cặp nam, nữ ngồi đối diện.

Số phần tử của A là: 

Chọn D

Chọn ngẫu nhiên 4 viên bi từ hộp có 12 viên bi thì có 

Số cách lấy để được đủ ba màu là 

Xác suất để 4 viên bi lấy ra có đủ ba màu bằng

Chọn D

Sau khi chia tiền lần đầu tiên sẽ có 8 trường hợp xảy ra như sau:

Các số lần lượt là số tiền của mỗi bạn. Có hai trường hợp cho kết quả (1;1;1) đó là Raashan$\to$Sylvia$\to$Ted Raashan hoặc Raashan Ted Sylvia Raashan.

Với mỗi trường hợp cho kết quả (1;1;1) thì lượt chơi tiếp theo sẽ có $\frac{1}{4}$  cơ hội để số tiền mỗi người bằng nhau.

Đối với trường hợp một người có 2$, một người có 1$ và người còn lại không có tiền thì lượt chơi thứ hai sẽ có 4 trường hợp xảy ra. Không mất tính tổng quát ta giả sử Raashan có 2$, Sylvia có 1$ và Ted không có tiền, ta có những cách chuyển tiền như sau:

-    Raashan $\leftrightarrows$  Sylvia và Ted không nhận được tiền.

Raashan $\to$ Sylvia $\to$ Ted.

-    Raashan $\to$ Ted $\to$ Sylvia.

-    Sylvia $\to$ Raashan $\to$Ted.

Như vậy trong 4 khả năng trên chỉ có một khả năng cho kết quả (1;1;1) chiếm tỉ lệ $\frac{1}{4}$

Cứ tiếp tục chơi như vậy đến lượt thứ 2019. Khi đó xác suất mỗi người chơi có 1$ là

Chọn D

Tổng có 3 + 4 + 5 = 12 quyển sách được sắp xếp lên một giá sách có 3 ngăn (có 2 vách ngăn). Vì vậy, ta coi 2 vách ngăn này như 2 quyển sách giống nhau. Vậy số phần tử không gian mẫu 

Gọi A là biến cố : “ Sắp xếp các 12 quyển sách lên giá sao cho không có bất kỳ hai quyển sách toán nào đứng cạnh nhau”.

+) Xếp 9 quyển sách ( lý và hóa) cùng 2 vách ngăn có $\frac{11!}{2!}$ cách

+) Lúc này, có 12 “khoảng trống” ( do 9 quyển sách ( lý và hóa) cùng 2 vách ngăn tạo ra) để xếp 3 quyển sách toán vào sao cho mỗi quyển vào một “khoảng trống” có $A_{12}^3$  cách.

Vậy có tất cả $\frac{11!}{2!}$.$A_{12}^3$ cách. Suy ra  

Vậy xác suất để không có bất kỳ hai quyển sách toán nào đứng cạnh nhau là:

Chọn A

Gọi số tự nhiên có bốn chữ số thỏa mãn yêu cầu bài toán là 

Số phần tử của không gian mẫu là 

Gọi biến cố A ‘‘Số được chọn lớn hơn số 6700’’.

Ta các TH sau:

TH1:  có 1 cách chọn.

có 3 cách chọn.

+ Các chữ số c,d được chọn từ 8 chữ số còn lại có sắp thứ tự và số cách chọn là $A_8^2$

Số cách để chọn ở trường hợp 1 là: 3.$A_8^2$

TH2 : có 3 cách chọn. Khi đó: b,c,d có $A_9^3$  cách chọn.

Số cách để chọn ở trường hợp 1 là: 3.$A_9^3$

Như vậy, ta được n(A) = 3.$A_8^2$ + 3.$A_9^3$ = 1680

Suy ra 

Chọn B

Số cách xếp ngẫu nhiên là 5! cách.

Ta tìm số cách xếp thoả mãn:

+ Chọn 2 vị trí cạnh nhau (3,4) và (4,5) có 2 cách.

+ Xếp A và B vào 2 vị trí cạnh nhau vừa chọn có 2! cách.

+ Xếp 3 người còn lại có 3! cách.

Số cách xếp là 2.2!3!.  Xác suất cần tính bằng 

Chọn B

Số phần tử của không gian mẫu 

Gọi biến cố A” Chọn được một số thỏa mãn ”.

Vì  mà  nên trong các chữ số sẽ không có số 0.

TH1: Số được chọn có  chữ số giống nhau có 9 số.

TH2: Số được chọn tạo bới hai chữ số khác nhau.

Số cách chọn ra 2 chữ số khác nhau từ 9 chữ số trên là: $C_9^2$ .

Mỗi bộ 2 chữ số được chọn tạo ra 2 số thỏa mãn yêu cầu.

Vậy có 2.$C_9^2$ số thỏa mãn.

TH3: Số được chọn tạo bởi ba chữ số khác nhau.

Số cách chọn ra 3 chữ số khác nhau từ 9 chữ số trên là: $C_9^3$ .

Mỗi bộ 3 chữ số được chọn chỉ tạo ra một số thỏa mãn yêu cầu.

Vậy có $C_9^3$ số thỏa mãn.

Vậy

Xác suất của biến cố A là: .

Chọn C

Chọn mỗi tổ hai học sinh nên số phần tử của không gian mẫu là 

Gọi biến cố A: “Chọn 4 học sinh từ 2 tổ sao cho 4 em được chọn có 2 nam và 2 nữ”

Khi đó, xảy ra các trường hợp sau:

TH1: Chọn 2 nam ở Tổ 1, 2 nữ ở Tổ 2. Số cách chọn là

TH2:  Chọn 2 nữ ở Tổ 1, 2 nam ở Tổ 2. Số cách chọn là .

TH3: Chọn ở mỗi tổ 1 nam và 1 nữ. Số cách chọn là 

Suy ra, n(A) = 

Xác suất để xảy ra biến cố A là: 

Chọn D

Giả sử hộp 1 có  viên bi, trong đó có a viên bi đen.

Hộp 2 có y viên bi, trong đó có b viên bi đen.

x, y, a, b là những số nguyên dương, )

Từ giả thiết x + y = 20, 

Từ đó ta có xy chia hết cho 84

Mặt khác  suy ra xy = 84 ta được x = 14, y = 6

Thay vào (1) ta được ab = 55 nên a là ước của 55. Do a$\le$14 nên a = 11 suy ra b = 5.

Vậy xác suất để lấy được 2 bi trắng 

Chọn D

Số phần tử không gian mẫu:

Gọi A là biến cố: Có 3 người cùng đến quầy thứ nhất .

Số kết quả thuận lợi của biến cố A là:

Xác suất của biến cố A: 

Chọn A

+ Chia đều 10 đội vào 2 bảng A và B có  cách.

Do đó số phần tử của không gian mẫu là : 

+ Sắp xếp  đội của  lớp 10A1 và 10A2 vào 2 bảng khác nhau A và B có 2! cách.

Chọn 4 đội trong 8 đội còn lại để xếp vào bảng có đội lớp 10A1 có $C_8^4$  cách.

Bốn đội còn lại xếp vào bảng còn lại.

Suy ra số cách chia đều 10 đội vào 2 bảng sao cho 2 đội 10A1 và 10A2 nằm ở 2 bảng khác nhau là 

Gọi A là biến cố  “Chia đều 10 đội vào 2 bảng sao cho 2 đội 10A1 và 10A2 nằm ở 2 bảng khác nhau ”  thì số các kết quả thuận lợi  cho biến cố A là:

+ Xác suất cần tìm là: 

Chọn C

Không gian mẫu: “ gieo ngẫu nhiên một con súc sắc 3 lần liên tiếp” 

Biến cố A: “ số $\overline{abc}$ chia hết cho 45”

$\overline{abc}$ chia hết cho 45 $\iff$$\overline{abc}$ chia hết cho cả 5 và 9

Vì $\overline{abc}$ chia hết cho 5 nên là số chấm xuất hiện của súc sắc khi gieo).

Vì $\overline{abc}$ chia hết cho 9 mà c = 5 => a + b + 5 chia hết cho 9.

Các cặp số (a;b) sao cho  mà a+b+5 chia hết cho 9 là: (1;3), (3;1), (2;2)

Do đó: n(A) = 3.

Chọn B

Số phần tử của không gian mẫu là 

Sắp 5 học sinh nam thành một hàng ngang, có 5! cách (tạo ra  khoảng trống).

Chọn 3 khoảng trống trong 6 khoảng trống để xếp 3 nữ, có $C_6^3$  cách chọn. Khi đó, số cách xếp 3 bạn nữ là $C_6^3$.3! cách.

Vậy xác suất cần tìm là 

Chọn A

Số phần tử không gian mẫu:

Gọi A là biến cố: Mỗi toa có ít nhất một khách lên tàu .

Có hai trường hợp:

TH1: Một toa có 3 khách 2 toa còn lại mỗi toa có 1 khách.

Trường hợp này có: (cách).

TH 2: Một toa có 1 khách 2 toa còn lại mỗi toa có 2 khách.

Trường hợp này có:(cách).

Số kết quả thuận lợi của biến cố A là: n(A) = 150(cách).

 Xác suất của biến cố A : 

Chọn A

Không gian mẫu là $8^3$

Có hai trường hợp

+ Trường hợp 1: Bước 1 đi 4 ô góc thì bước 2 có 2 cách đi, bước 3 có 1 cách đi

+ Trường hợp 2: Bước 1 đi 4 ô còn lại thì bước 2 có 4 cách đi, bước 3 có 1 cách đi

Vậy tât cả có 4.2 + 4.4 = 24

Suy ra xác suất để sau 3 bước đi quân vua trở về ô ban đầu là: 

Chọn C

Đa giác đều nội tiếp một đường tròn tâm O. Lấy ngẫu nhiên 3 đỉnh có $C_{20}^3$  cách.

Để 3 đỉnh là 3 đỉnh một tam giác vuông không có cạnh nào là cạnh của đa giác đều thực hiện theo các bước:

Lấy một đường kính qua tâm đường tròn có 10 cách ta được 2 đỉnh.

Chọn đỉnh còn lại trong 20 - 2 - 4 = 14 đỉnh (loại đi 2 đỉnh thuộc đường kính và 4 đỉnh gần ngay đường kính đó) cách.

Vậy có tất cả 10.14 = 140 tam giác thoả mãn.

Xác suất cần tính bằng 

Chọn D

Lấy ba đoạn thẳng từ năm đoạn thẳng có $C_5^3$ = 10 cách. Suy ra số phần tử của không gian mẫu là

Gọi A là biến cố: " Ba đoạn thẳng lấy ra tạo thành ba cạnh của một tam giác ".

Khi đó 3 đoạn thẳng được chọn thỏa mãn tính chất: Tổng độ dài 2 đoạn thẳng luôn lớn hơn độ dài đoạn thẳng còn lại.

Có 3 bộ thỏa mãn là 

             Vậy xác suất để ba đoạn thẳng lấy ra tạo thành ba cạnh của một tam giác là

Chọn A

Gọi A là biến cố: Xếp hai học sinh A, B ngồi ở hai bàn xếp cạnh nhau.

Số cách xếp ngẫu nhiên  học sinh vào 36 cái bàn là 36!, 

Ta tìm số cách xếp thuận lợi cho biến cố :

     - Chọn 1 hàng hoặc 1 cột có $C_{12}^1$ cách;

- Mỗi hàng hoặc cột đều có 6 bàn nên có 5 cặp bàn xếp kề nhau, chọn lấy 1 trong 5 cặp bàn cạnh nhau trong hàng hoặc cột vừa chọn ra có $C_5^1$ cách;

- Xếp A và B vào cặp bàn vừa chọn có 2! cách;

- Xếp 34 học sinh còn lại có 34! cách.

Vậy tổng số cách xếp thoả mãn là: 

Vậy xác suất cần tính: 

Chọn D

Cách 1. Xếp ngẫu nhiên 10 học sinh vào hai dãy ghế có  cách.

Đánh số ghế lần lượt từ 1 đến 10.

Xếp học sinh thỏa mãn bài toán xảy ra hai khả năng sau:

Khả năng 1: Nam ngồi vị trí lẻ, nữ ngồi vị trí chẵn có 5!.5! cách.

Khả năng 2: Nam ngồi vị trí chẵn, nữ ngồi vị trí lẻ có 5!.5! cách.

Vậy có tất cả 2.${(5!)}^2$ cách.

Xác suất cần tìm bằng 

Cách 2: Xếp ngẫu nhiên 10 học sinh vào hai dãy ghế, có 10! cách xếp.

Ta chia hai dãy ghế thành 5 cặp ghế đối diện:

+ Chọn 1 nam và 1 nữ xếp vào cặp ghế 1 có   cách;

+ Chọn 1 nam và 1 nữ xếp vào cặp ghế 2 có  cách;

+ Chọn 1 nam và 1 nữ xếp vào cặp ghế 3 có  cách;

+ Chọn 1 nam và 1 nữ xếp vào cặp ghế 4 có  cách;

+ Chọn 1 nam và 1 nữ xếp vào cặp ghế 5 có 1 cách.

Vậy có tất cả  cách xếp thỏa mãn.

Xác suất cần tìm bằng