Giải SGK Toán lớp 8 Bài 34: Ba trường hợp đồng dạng của hai tam giác
1. Trường hợp đồng dạng thứ nhất của tam giác
Lời giải:
Vì trong hình vẽ mặt sân được vẽ nghiêng nên nếu đo trực tiếp trong sách giáo khoa sẽ không đúng bằng góc thực tế.
Vẽ một tam giác bằng dụng cụ học tập trên giấy có một góc đúng bằng góc sút. Từ đó sử dụng dụng cụ học tập là thước đo góc để đo góc sút.
HĐ1 trang 83 Toán 8 Tập 2: Cho hai tam giác ABC và A'B'C' có .
a) Nếu A′B' = AB thì hai tam giác có đồng dạng với nhau không? Vì sao?
- Hãy giải thích vì sao ΔAMN ∽ ΔABC.
- Hãy chứng tỏ rằng AN = A′C′, MN = B′C′ để suy ra ΔAMN = ΔA'B'C' (c.c.c).
c) Nếu A'B' > AB thì tam giác A'B'C' có đồng dạng với tam giác ABC không? Vì sao?
Lời giải:
a) Nếu A′B′ = AB thì từ , suy ra A′C′ = AC và B′C′ = BC.
Do đó ΔABC = ΔA'B'C' (c.c.c). Vậy ΔABC ∽ ΔA'B'C'.
b) Ta có MN // BC ( M ∈ AB, N ∈ AC). Suy ra ΔAMN ∽ ΔABC.
Suy ra .
Mà nên .
Có AM = A'B', suy ra A'C' = AN và B'C' = MN nên ∆AMN = ∆A'B'C' (c.c.c).
Suy ra ∆AMN ∽ ∆A'B'C', mà ∆AMN ∽ ∆ABC nên ∆ABC ∽ ∆A'B'C'.
c) Nếu A'B' > AB, bằng cách đổi vai trò cho ∆ABC và ∆A'B'C' cho nhau thì theo câu b), ta có ∆ABC ∽ ∆A'B'C'.
Lời giải:
Ta có ∆ABC ∽ ∆HGK (c.c.c) vì .
Ta có ∆DEF ∽ ∆MNP (c.c.c) vì .
Lời giải:
Vì chu vi tam giác ABC bằng 18 cm.
Suy ra AB + AC + BC = 18. Suy ra 4 + AC + 6 = 18 nên AC = 8 (cm).
Vì chu vi tam giác DEF bằng 27 cm.
Suy ra DE + EF + DF = 27. Suy ra 6 + EF + 12 = 27 nên EF = 9 (cm)
Ta thấy: .
Suy ra ∆ABC ∽ ∆DEF (c.c.c).
Vuông: Tớ sẽ tính tỉ lệ (7,32 : 10,98 : 14,64) bằng (1 : 1,5 : 2).
Tròn: Tớ sẽ tính tỉ lệ (7,32 : 10,98 : 14,64) bằng (2 : 3 : 4).
Lời giải:
Có thể vẽ tam giác ABC có các cạnh lần lượt bằng 2 cm; 3 cm; 4 cm sau đó xét các tỉ lệ ta thấy nên tam giác ABC đồng dạng với tam giác tạo bởi ba đỉnh là trái bóng và hai chân cột gôn.
Lấy thước đo góc để đo các góc của tam giác từ đó tính được góc sút.
Ta đo được góc sút bằng khoảng 29°.
2. Trường hợp đồng dạng thứ hai của tam giác
- Dùng thước có vạch chia đo độ dài BC, B'C' và tính tỉ số .
Lời giải:
- Ta có: .
- Đo được BC ≈ 2,6 cm; B'C' ≈ 3,9 cm.
Tỉ số . Do đó .
- Vậy ∆A'B'C' ∽ ∆ABC (c.c.c) với tỉ số đồng dạng là .
Lời giải:
Ta có ∆ACB ∽ ∆MPN vì và .
Lời giải:
Có . Suy ra
Suy ra . Do đó, , suy ra . (1)
Vì ΔA′B′C′ ∽ ΔABC. Suy ra và . (2)
Từ (1) và (2) suy ra .
Xét tam giác ABM và tam giác A'B'M' có:
và (chứng minh trên).
Do đó ΔABM ∽ ΔA′B′M′ (c.g.c).
Lời giải:
Bạn Lan nhận xét không đúng.
Ví dụ lấy ∆ABM ∽ ∆A'B'C' với và lấy C trên đoạn MB sao cho ∆AMC cân tại A như H.9.19 thì ∆ABC và ∆A'B'C' không đồng dạng.
3. Trường hợp đồng dạng thứ ba của tam giác
Lời giải:
Dự đoán: Hai tam giác có hình dạng rất giống nhau chỉ khác về kích thước nên chúng có khả năng đồng dạng với nhau. Khi đó tỉ số đồng dạng bằng .
(AB = 10 m = 1 000 cm, A'B' = 2 cm)
Lời giải:
Nếu ΔA'B'C'∽ ΔABC thì .
Mà A'C' = 3,76 cm và , suy ra
Lời giải:
Xét tam giác MPN có:
.
Các cặp tam giác đồng dạng trong Hình 9.22 là:
+) ΔACB ∽ ΔDFE (g.g) vì .
+) ΔACB ∽ ΔMNP (g.g) vì .
+) ΔDEF ∽ ΔMPN (g.g) vì .
Lời giải:
Xét tam giác ABC và tam giác ADB có:
và chung
Do đó ΔABC ∽ ΔADB (g.g).
Suy ra , do đó AB . AB = AD . AC hay AB2 = AD . AC.
Thử thách nhỏ trang 90 Toán 8 Tập 2:
Lời giải:
1.
Do tổng các góc trong một tam giác bằng 180○ nên:
.
Suy ra . Do đó .
Tương tự ta có . Vậy tam giác ABC và A'B'C' có: ; .
Do đó ∆ABC ∽ ∆A'B'C' (g.g).
2. Nếu góc C và góc C' đều nhọn, lấy điểm M trên tia BC sao cho ∆ABM ∽ ∆A'B'C'.
Giả sử điểm C không trùng với M.
Khi đó ∆ABM ∽ ∆A'B'C' nên .
Mà (gt) nên , suy ra AC = AM hay ∆AMC cân tại A.
+) Nếu M nằm giữa B và C thì
(Vô lí).
+) Nếu C nằm giữa B và M (như Hình 9.19). Khi đó
(Vô lí).
Vậy điểm C phải trùng với M và ∆ABC ∽ ∆A'B'C'.
Bài tập
Bài 9.5 trang 90 Toán 8 Tập 2: Giả thiết nào dưới đây chứng tỏ rằng hai tam giác đồng dạng?
a) Ba cạnh của tam giác này tỉ lệ với ba cạnh của tam giác kia.
b) Hai cạnh của tam giác này tỉ lệ với hai cạnh của tam giác kia và có một cặp góc bằng nhau.
c) Hai góc của tam giác này bằng hai góc của tam giác kia.
d) Hai cạnh của tam giác này bằng hai cạnh của tam giác kia.
Lời giải:
Giả thiết a) suy ra hai tam giác đồng dạng theo trường hợp cạnh – cạnh – cạnh.
Giả thiết c) suy ra hai tam giác đồng dạng theo trường hợp góc – góc.
Các giả thiết b) và d) không suy ra hai tam giác đồng dạng.
a) 6 cm, 12 cm, 15 cm. b) 8 cm, 16 cm, 20 cm.
c) 6 cm, 9 cm, 18 cm. d) 8 cm, 10 cm, 15 cm.
Lời giải:
Vì 6 + 12 + 15 = 33 (cm) và nên bộ ba trong câu a) là độ dài ba cạnh của tam giác thỏa mãn yêu cầu. Các bộ ba còn lại hoặc không có tổng bằng 33 cm hoặc không có tỉ lệ tương ứng với (4 : 8 : 10) nên không thể là độ dài ba cạnh của tam giác thỏa mãn yêu cầu.
Lời giải:
Vì ΔA′B′C′ ∽ ΔABC nên: ; (1)
và . (2)
Hai tam giác A'B'M' và ABM có:
(theo (1));
(theo (2)).
Do đó ΔA′M′B′ ∽ ΔAMB (c.g.c). Suy ra (3).
Tương tự ΔA′C′P′ ∽ ΔACP và (4).
ΔA′B′N′ ∽ ΔABN và (5).
Từ (1), (3), (4) và (5) suy ra .
Lời giải:
Có AB = 12 cm , AN = 8 cm. Suy ra .
AC = 15 cm, AM = 10 cm. Suy ra .
Suy ra .
Xét hai tam giác ABC và tam giác ANM có:
, chung.
Do đó ΔABC ∽ ΔANM (c.g.c).
a) Chứng minh rằng ΔABN ∽ ΔACM.
b) Gọi I là giao điểm của BN và CM. Chứng minh rằng IB . IN = IC . IM.
Lời giải:
a) Xét tam giác ABN và tam giác ACM:
chung, (giả thiết)
Suy ra ΔABN ∽ ΔACM (g.g).
b) Vì ΔABN ∽ ΔACM (chứng minh trên) nên .
Lại có: (kề bù), suy ra .
Xét tam giác IBM và tam giác ICN có:
(cmt) và (do )
Suy ra ΔIBM ∽ ΔICN (g.g).
Suy ra . Suy ra IB . IN = IC . IM.
Lời giải:
Kí hiệu các điểm như hình vẽ trên.
Ta có: AB, EF, CD đôi một song song vì cùng vuông góc với BC (do dựng thẳng đứng).
Do đó ΔCEF ∽ ΔCAB và ΔBEF ∽ ΔBDC.
Suy ra và .
Do đó: .
Suy ra .
Vậy (m).
Xem thêm lời giải bài tập SGK Toán lớp 8 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:
