Cho AM, BN, CP là các đường trung tuyến của tam giác ABC. Cho A'M', B'N', C'P' là các đường trung tuyến

Bài 9.7 trang 90 Toán 8 Tập 2: Cho AM, BN, CP là các đường trung tuyến của tam giác ABC. Cho A'M', B'N', C'P' là các đường trung tuyến của tam giác A'B'C'. Biết rằng ΔA′B′C′ ∽ ΔABC.

Chứng minh rằng $\frac{A\text{'}M\text{'}}{AM}=\frac{B\text{'}N\text{'}}{BN}=\frac{C\text{'}P\text{'}}{CP}$

Trả lời

Vì ΔA′B′C′ ∽ ΔABC nên:$\frac{A\text{'}B\text{'}}{AB}=\frac{B\text{'}C\text{'}}{BC}=\frac{A\text{'}C\text{'}}{AC}$ ; (1)

và $\widehat{A\text{'}B\text{'}C\text{'}}=\widehat{ABC};\widehat{B\text{'}C\text{'}A\text{'}}=\widehat{BCA};\widehat{C\text{'}A\text{'}B\text{'}}=\widehat{CAB}$ . (2)

Hai tam giác A'B'M' và ABM có:

 $\frac{B\text{'}M\text{'}}{BM}=\frac{\frac{B\text{'}C\text{'}}{2}}{\frac{BC}{2}}=\frac{B\text{'}C\text{'}}{BC}=\frac{B\text{'}A\text{'}}{BA}$ (theo (1));

$\widehat{A\text{'}B\text{'}M\text{'}}=\widehat{A\text{'}B\text{'}C\text{'}}=\widehat{ABC}=\widehat{ABM}$ (theo (2)).

Do đó ΔA′M′B′ ∽ ΔAMB (c.g.c). Suy ra $\frac{A\text{'}M\text{'}}{AM}=\frac{A\text{'}B\text{'}}{AB}$  (3).

Tương tự ΔA′C′P′ ∽ ΔACP và $\frac{C\text{'}P\text{'}}{CP}=\frac{A\text{'}C\text{'}}{AC}$ (4).

ΔA′B′N′ ∽ ΔABN  và $\frac{B\text{'}N\text{'}}{BN}=\frac{A\text{'}B\text{'}}{AB}$ (5).

Từ (1), (3), (4) và (5) suy ra $\frac{A\text{'}M\text{'}}{AM}=\frac{B\text{'}N\text{'}}{BN}=\frac{C\text{'}P\text{'}}{CP}$ .

Xem thêm lời giải bài tập SGK Toán lớp 8 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác: