1. Biết rằng ba đường phân giác của tam giác ABC đồng quy tại I, ba đường phân giác

Thử thách nhỏ trang 90 Toán 8 Tập 2:

1. Biết rằng ba đường phân giác của tam giác ABC đồng quy tại I, ba đường phân giác của tam giác A'B'C' đồng quy tại I'. Hãy chứng tỏ rằng nếu $\widehat{A\text{'}I\text{'}B\text{'}}=\widehat{AIB}$  và $\widehat{A\text{'}I\text{'}C\text{'}}=\widehat{AIC}$  thì ∆A'B'C' ∽ ∆ABC.

2. Với hai tam giác ABC và A'B'C' trong phần Tranh luận, nếu thêm giải thiết các góc C và C' nhọn thì hai tam giác đó có đồng dạng không?

Trả lời

1.

Do tổng các góc trong một tam giác bằng 180^○ nên:

$\frac{\widehat{A\text{'}}+\widehat{B\text{'}}}{2}=180°-\widehat{A\text{'}I\text{'}B\text{'}}=180°-\widehat{AIB}=\frac{\widehat{A}+\widehat{B}}{2}$.

Suy ra $\widehat{A\text{'}}+\widehat{B\text{'}}=\widehat{A}+\widehat{B}$ . Do đó $\widehat{C\text{'}}=180°-\widehat{A\text{'}}-\widehat{B\text{'}}=180°-\widehat{A}-\widehat{B}=\widehat{C}$ .

Tương tự ta có $\widehat{B}=\widehat{B\text{'}}$ . Vậy tam giác ABC và A'B'C' có: $\widehat{B}=\widehat{B\text{'}}$ ; $\widehat{C}=\widehat{C\text{'}}$ .

Do đó ∆ABC ∽ ∆A'B'C' (g.g).

2. Nếu góc C và góc C' đều nhọn, lấy điểm M trên tia BC sao cho ∆ABM ∽ ∆A'B'C'.

Giả sử điểm C không trùng với M.

Khi đó ∆ABM ∽ ∆A'B'C' nên $\frac{A\text{'}C\text{'}}{AM}=\frac{A\text{'}B\text{'}}{AB}=\frac{B\text{'}C\text{'}}{BM}$ .

Mà $\frac{A\text{'}B\text{'}}{AB}=\frac{A\text{'}C\text{'}}{AC}$  (gt) nên $\frac{A\text{'}C\text{'}}{AM}=\frac{A\text{'}C\text{'}}{AC}$ , suy ra AC = AM hay ∆AMC cân tại A.

+) Nếu M nằm giữa B và C thì

$\widehat{AMB}=180°-\widehat{AMC}=180°-\widehat{ACM}>90°>\widehat{C\text{'}}$ (Vô lí).

+) Nếu C nằm giữa B và M (như Hình 9.19). Khi đó

 $\widehat{ACB}=180°-\widehat{ACM}=180°-\widehat{AMB}=180°-\widehat{C\text{'}}>90°$(Vô lí).

Vậy điểm C phải trùng với M và ∆ABC ∽ ∆A'B'C'.

Xem thêm lời giải bài tập SGK Toán lớp 8 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác: