Giải SGK Toán 11 (Chân trời sáng tạo) Bài 2: Trung vị và tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm

Giải Toán 11 Bài 2: Trung vị và tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm

Hoạt động khởi động trang 136 Toán 11 Tập 1: Biểu đồ bên thống kê chiều cao (đơn vị: cm) của các vận động viên hai đội bóng rổ Sao La và Kim Ngưu. Hãy so sánh chiều cao của các vận động viên hai đội bóng theo số trung bình và trung vị.

Lời giải:

Lời giải sẽ được thực hiện trong Thực hành 1 trang 137 SGK Toán 11.

1. Trung vị

Hoạt động khám phá 1 trang 136 Toán 11 Tập 1:

a) Sử dụng biểu đồ ở hoạt động khởi động, hoàn thiện bảng thống kê sau:

b) Tìm các nhóm chứa giá trị trung vị chiều cao thành viên mỗi đội.

Lời giải:

b) +) Sau bài này ta sẽ tìm được cách tìm trung vị của mẫu số liệu trên như sau

- Trung vị của dãy số liệu chiều cao đội Sao La là:

Gọi x₁; x₂; x₃; ...; x₂₀ là chiều cao của 20 thành viên đội Sao La xếp theo thứ tự không giảm.

Số trung vị của mẫu số liệu trên là: $\frac{1}{2}$(x₁₀ + x₁₁)

Từ bảng số liệu trên ta thấy x₁; x₂ ∈ [170; 175); x₃; x₄; x₅; x₆ ∈ [175; 180); x₇; x₈; x₉; x₁₀; x₁₁ ∈ [180; 185).

Do đó $\frac{1}{2}$(x₁₀ + x₁₁) sẽ thuộc nhóm [180; 185).

- Trung vị của dãy số liệu chiều cao đội Kim Ngưu là:

Gọi y₁; y₂; y₃; ...; y₂₀ là chiều cao của 20 thành viên đội Kim Ngưu xếp theo thứ tự không giảm.

Số trung vị của mẫu số liệu trên là: $\frac{1}{2}$(y₁₀ + y₁₁)

Từ bảng số liệu trên ta thấy y₁; y₂ ∈ [170; 175); y₃; y₄; y₅ ∈ [175; 180); y₆; y₇; x₈; x₉ ∈ [180; 185); x₁₀; x₁₁; ...; x₁₉ ∈ [185; 190); x₂₀ ∈ [190; 195).

Do đó $\frac{1}{2}$(x₁₀ + x₁₁) sẽ thuộc nhóm [190; 195).

Thực hành 1 trang 137 Toán 11 Tập 1: Hãy trả lời câu hỏi ở hoạt động khởi động.

Lời giải:

Ta có bảng tần số ghép nhóm sau:

+) Ước lượng chiều cao trung bình của các vận động viên đội Sao La là:

$\overline{x_1}=\frac{172,5.2+177,5.4+182,5.5+187,5.5+192,5.4}{20}\approx 183,75$ (cm).

Ước lượng chiều cao trung bình của các vận động viên đội Kim Ngưu là:

$\overline{x_2}=\frac{172,5.2+177,5.3+182,5.4+187,5.10+192,5.1}{20}\approx 183,75$ (cm).

Theo chiều cao trung bình thì cả hai đội có chiều cao như nhau.

+) Sau bài này ta sẽ tìm được cách tìm trung vị của mẫu số liệu trên như sau

- Trung vị của dãy số liệu chiều cao đội Sao La là:

Gọi x₁; x₂; x₃; ...; x₂₀ là chiều cao của 20 thành viên đội Sao La xếp theo thứ tự không giảm.

Số trung vị của mẫu số liệu trên là: $\frac{1}{2}$(x₁₀ + x₁₁)

Từ bảng số liệu trên ta thấy x₁; x₂ ∈ [170; 175); x₃; x₄; x₅; x₆ ∈ [175; 180); x₇; x₈; x₉; x₁₀; x₁₁ ∈ [180; 185).

Do đó $\frac{1}{2}$(x₁₀ + x₁₁) sẽ thuộc nhóm [180; 185).

Khi đó số trung vị của số liệu đội Sao La là:

$M_e=180+\frac{\frac{20}{2}-(2+4)}{5}(185-180)=184$.

- Trung vị của dãy số liệu chiều cao đội Kim Ngưu là:

Gọi y₁; y₂; y₃; ...; y₂₀ là chiều cao của 20 thành viên đội Kim Ngưu xếp theo thứ tự không giảm.

Số trung vị của mẫu số liệu trên là: $\frac{1}{2}$(y₁₀ + y₁₁)

Từ bảng số liệu trên ta thấy y₁; y₂ ∈ [170; 175); y₃; y₄; y₅ ∈ [175; 180); y₆; y₇; x₈; x₉ ∈ [180; 185); x₁₀; x₁₁; ...; x₁₉ ∈ [185; 190); x₂₀ ∈ [190; 195).

Do đó $\frac{1}{2}$(x₁₀ + x₁₁) sẽ thuộc nhóm [190; 195).

Khi đó số trung vị của số liệu đội Kim Ngưu là:

$M_e=190+\frac{\frac{20}{2}-(2+3+4)}{10}(195-190)=190,5$.

Dựa vào số trung vị ta thấy chiều cao của đội Kim Ngưu nhỉnh hơn chiều cao của đội Sao La.

Vận dụng 1 trang 137 Toán 11 Tập 1: Trong một hội thao, thời gian chạy 200 m của một nhóm các vận động viên được ghi lại trong bảng sau:

Dựa vào bảng số liệu trên, ban tổ chứ muốn chọn ra khoảng 50% số vận động viên chạy nhanh nhất để tiếp tục thi vòng 2. Ban tổ chức nên chọn các vận động viên có thời gian chạy không quá bao nhiêu giây?

Lời giải:

Tổng số vận động viên n = 5 + 12 + 32 + 45 + 30 = 124.

Gọi x₁; x₂; ...; x₁₂₄ lần lượt là thời gian chạy của 124 vận động viên tham gia hội thao được xếp theo thứ tự không giảm.

Ta có: x₁; ...; x₅ ∈ [21; 21,5), x₆; ...; x₁₇ ∈ [21,5; 22), x₁₈; ...; x₄₉ ∈ [22; 22,5), x₅₀; ...; x₉₄ ∈ [22,5; 23), x₉₅; ...; x₁₂₄ ∈ [23; 23,5).

Số trung vị của dãy số liệu là: $\frac{1}{2}$(x₆₂ + x₆₃)

Mà x₆₂; x₆₃ ∈ [22,5; 23) do đó: M_e = $22,5+\frac{\frac{124}{2}-49}{45}(23-22,5)\approx 22,6$.

Vậy ban tổ chức nên chọn vận động viên có thời gian chạy không quá 22,6 giây.

2. Tứ phân vị

Hoạt động khám phá 2 trang 138 Toán 11 Tập 1: Thời gian luyện tập trong một ngày (tính theo giờ) của một số vận động viên được ghi lại ở bảng sau:

Huấn luyện viên muốn xác định nhóm gồm 25% các vận động viên có số giờ luyện tập cao nhất. Hỏi huấn luyện viên nên chọn các vận động viên có thời gian luyện tập từ bao nhiêu giờ trở lên vào nhóm này?

Lời giải:

Số vận động viên được khảo sát là: n = 3 + 8 + 12 + 12 + 4 = 39.

Gọi x₁; x₂; ...; x₃₉ là thời gian luyện tập của 39 vận động viên được xếp theo thứ tự không giảm.

Ta có: x₁; x₂; x₃ ∈ [0; 2), x₄; ...; x₁₁ ∈ [2; 4), x₁₂; ...; x₂₃ ∈ [4; 6), x₂₄; ...; x₃₅ ∈ [6; 8), x₃₆; ...; x₃₉ ∈ [8; 10).

Do đó đối với dãy số liệu x₁; x₂; ...; x₃₉ thì:

- Tứ phân vị thứ nhất là x₁₀ thuộc nhóm [2; 4);

- Tứ phân vị thứ hai là x₂₀ thuộc nhóm [4; 6);

- Tứ phân vị thứ ba là x₃₀ thuộc nhóm [6; 8).

Vậy huấn luyện viên nên chọn các vận động viên có thời gian luyện tập từ x₃₀ (giờ) trở lên.

Thực hành 2 trang 140 Toán 11 Tập 1: Một người thống kê lại thời gian thực hiện các cuộc gọi điện thoại của người đó trong một tuần ở bảng sau:

a) Hãy ước lượng các tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên.

b) Hãy ước lượng các tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên.

Lời giải:

Tổng số cuộc gọi điện thoại là: 8 + 10 + 7 + 5 + 2 + 1 = 33 (cuộc gọi).

Gọi x₁; x₂; ...; x₃₃ là số thời gian thực hiện cuộc gọi điện thoại sắp xếp theo thứ tự không giảm.

Ta có: x₁; ...; x₈ ∈ [0; 60), x₉; ...; x₁₈ ∈ [60; 120), x₁₉; ...; x₂₅ ∈ [120; 180), x₂₆; ...; x₃₀ ∈ [180; 240), x₃₁; x₃₂ ∈ [240; 300), x₃₃ ∈ [300; 360).

Khi đó:

- Tứ phân vị thứ hai của dãy số liệu x₁; x₂; x₃; ...; x₃₃ là x₁₇. Vì x₁₇ ∈ [60; 120) nên tứ phân vị thứ hai của mẫu số liệu là:

Q₂ = $60+\frac{\frac{33}{2}-8}{10}.(120-60)=111$.

- Tứ phân vị thứ nhất của dãy số liệu x₁; x₂; x₃; ...; x₃₃ là x₈ và x₉ . Vì x₈ ∈ [0; 60) và x₉ ∈ [60; 120) nên tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu là: Q₁ = 60.

- Tứ phân vị thứ nhất của dãy số liệu x₁; x₂; x₃; ...; x₃₃ là x₂₅ và x₂₆. Vì x₂₅ ∈ [120; 180) và x₂₆ ∈ [180; 200) nên tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu là: Q₃ = 180.

Vậy tứ phân vị của mẫu số liệu là: Q₁ = 60; Q₂ = 111; Q₃ = 180.

Vận dụng 2 trang 140 Toán 11 Tập 1: Một phòng khám thống kê số bệnh nhân đến khám bệnh mỗi ngày trong 4 tháng năm 2022 ở bảng sau:

a) Hãy ước lượng các tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên.

b) Quản lí phòng khám cho rằng có khoảng 25% số ngày khám có nhiều hơn 35 bệnh nhân đến khám. Nhận định trên có hợp lí không?

Lời giải:

Hiệu chỉnh bảng số liệu ta được:

Tổng số số ngày có bệnh nhân đến khám là: 7 + 8 + 7 + 6 + 2 = 30.

Gọi x₁; x₂; ...; x₃₀ lần lượt là số bệnh nhân đến khám bệnh được sắp xếp theo thứ tự không giảm.

Ta có: x₁; ...; x₇ ∈ [0,5; 10,5), x₈; ...; x₁₅ ∈ [10,5; 20,5), x₁₆; ...; x₂₂ ∈ [20,5; 30,5), x₂₃; ...; x₂₈ ∈ [30,5; 40,5), x₂₉; x₃₀ ∈ [40,5; 50,5).

Khi đó:

- Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu là x₈ ∈ [10,5; 20,5) nên

Q₁ = $10,5+\frac{\frac{30}{4}-7}{8}.(20,5-10,5)\approx 11,1$.

- Tứ phân vị thứ hai của mẫu số liệu là trung bình cộng của x₁₅ và x₁₆. Vì x₁₅ ∈ [10,5; 20,5) và x₁₆ ∈ [20,5; 25,5) nên ta có: Q₂ = 20,5.

- Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu là x₂₄ ∈ [30,5; 40,5) nên

Q₃ = $30,5+\frac{\frac{3.30}{4}-22}{6}.(40,5-30,5)\approx 31,3$.

Bài tập

Bài 1 trang 140 Toán 11 Tập 1: Lương tháng của một số nhân viên văn phòng được ghi lại như sau (đơn vị: triệu đồng):

a) Tìm tứ phân vị của dãy số liệu trên.

b) Tổng hợp lại dãy số liệu trên vào bảng tần số ghép nhóm theo mẫu sau:

c) Hãy ước lượng tứ phân vị của số liệu ở bảng tần số ghép nhóm trên.

Lời giải:

Sắp xếp mẫu số liệu không giảm ta được:

6,5; 6,7; 6,7; 8,3; 8,4; 8,9; 9,2; 9,6; 9,8; 10,0; 10,0; 10,7; 10,9; 11,1; 11,2; 11,7; 11,9; 12,2; 12,5; 12,7; 13,1; 13,2; 13,6; 13,8.

Cỡ mẫu là n = 24 nên ta có:

Tứ phân vị thứ hai là trung bình cộng của giá trị thứ 12 và 13 ta được: $Q_2=\frac{10,7+10,9}{2}=10,8$.

Tứ phân vị thứ nhất là trung bình cộng của giá trị thứ 6 và thứ 7 ta được:

$Q_1=\frac{8,9+9,2}{2}=9,05$.

Tứ phân vị thứ ba là trung bình cộng của giá trị 18 và 19 ta được:

$Q_3=\frac{12,2+12,5}{2}\approx 12,35$.

b) Ta có bảng tần số ghép nhóm:

c) Gọi x₁; x₂; ...; x₂₄ là lương tháng của nhân viên một văn phòng theo thứ tự không giảm.

Ta có: x₁; ...; x₃ ∈ [6; 8), x₄; ...; x₉ ∈ [8; 10), x₁₀; ...; x₁₇ ∈ [10; 12), x₁₈; ...; x₂₄ ∈ [12; 14).

Khi đó:

- Tứ phân vị thứ hai của mẫu số liệu là trung bình cộng của x₁₂ và x₁₃. Vì x₁₂; x₁₃∈ [10; 12) nên Q₂ = $10+\frac{\frac{24}{2}-9}{8}(12-10)=10,75$.

- Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu là trung bình cộng của x₆ và x₇. Vì x₆; x₇ ∈ [8; 10) nên $Q_1=8+\frac{\frac{24}{4}-3}{6}(10-8)=9$.

- Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu là trung bình cộng của x₁₈ và x₁₉. Vì x₁₈; x₁₉ ∈ [12; 14) nên $Q_3=12+\frac{\frac{3.24}{4}-17}{7}(14-12)\approx 12,3$.

Bài 2 trang 141 Toán 11 Tập 1: Số điểm một cầu thủ bóng rổ ghi được trong 20 trận đấu được cho ở bảng sau:

a) Tìm tứ phân vị của dãy số liệu trên.

b) Tổng hợp lại dãy số liệu trên vào bảng tần số ghép nhóm theo mẫu sau:

c) Hãy ước lượng tứ phân vị của mẫu số liệu từ bảng tần số ghép nhóm trên.

Lời giải:

a) Sắp xếp dãy số liệu theo thứ tự không giảm ta được:

6; 8; 8; 10; 11; 11; 12; 13; 14; 14; 14; 15; 18; 18; 21; 22; 23; 24; 25; 25.

Tứ phân vị thứ hai của mẫu số liệu là trung bình cộng của giá trị thứ 10 và thứ 11 ta được: $Q_2=\frac{14+14}{2}=14$.

Tứ phân vị thứ nhất là trung bình cộng của giá trị thứ 5 và thứ 6 ta được:

$Q_1=\frac{11+11}{2}=11$.

Tứ phân vị thứ ba là trung bình cộng của giá trị 15 và 16 ta được:

$Q_3=\frac{21+22}{2}=21,5$.

b) Ta có bảng tần số ghép nhóm theo mẫu sau:

c) Ta có bảng hiểu chỉnh bảng trên như sau:

Gọi x₁; x₂; ...; x₂₀ là lương tháng của nhân viên một văn phòng theo thứ tự không giảm.

Ta có: x₁; ...; x₄ ∈ [5,5; 10,5), x₅; ...; x₁₂ ∈ [10,5; 15,5), x₁₃; x₁₄ ∈ [15,5; 20,5), x₁₅; ...; x₂₀ ∈ [20,5; 25,5).

Khi đó:

- Tứ phân vị thứ hai của mẫu số liệu là trung bình cộng của x₁₀ và x₁₁. Vì x₁₀; x₁₁ ∈ [10,5; 15,5) nên Q₂ = $10,5+\frac{\frac{20}{2}-4}{8}(15,5-10,5)=14,25$.

- Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu là trung bình cộng của x₅ và x₆. Vì x₅; x₆ ∈ [10,5; 15,5) nên $Q_1=10,5+\frac{\frac{20}{4}-4}{8}(15,5-10,5)=11,125$.

- Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu là trung bình cộng của x₁₅ và x₁₆. Vì x₁₅; x₁₆ ∈ [20,5; 25,5) nên $Q_3=20,5+\frac{\frac{3.20}{4}-14}{6}(25,5-20,5)\approx 21,3$.

Bài 3 trang 141 Toán 11 Tập 1: Kiểm tra điện lượng của một số viên pin tiểu do một hãng sản xuất thu được kết quả sau:

Hãy ước lượng số trung bình, mốt và tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên.

Lời giải:

Ta có bảng giá trị đại diện:

+) Ước lượng số trung bình của mẫu số liệu là:

$\overline{x}=\frac{0,925.10+0,975.20+1,025.35+1,075.15+1,125.5}{85}\approx 1,016$.

+) Mốt của dãy số liệu thuộc vào [1,0; 1,05) nên ta có: $M_0=1,0+\frac{35-20}{35-20+35-15}.(1,05-1,0)\approx 1,02$.

+) Gọi x₁; x₂; ...; x₈₅ là điện lượng của một số viên pin tiểu được sắp xếp theo thứ tự không giảm.

Ta có: x₁; ...; x₁₀ ∈ [0,9; 0,95), x₁₁; ...; x₃₀ ∈ [0,95; 1,0), x₃₁; ...; x₆₅ ∈ [1,0; 1,05), x₆₆; ...; x_80­ ∈ [1,05; 1,1), x₈₁; ...; x₈₅ ∈ [1,1; 1,15).

Khi đó, ta có:

- Tứ phân vị thứ hai của dãy số liệu là x₄₃ ∈ [1,0; 1,05) nên $Q_2=1,0+\frac{\frac{85}{2}-30}{35}.(1,05-1,0)\approx 1,02$.

- Tứ phân vị thứ nhất của dãy số liệu là $\frac{1}{2}$(x₂₁ + x₂₂) ∈ [0,95; 1,0) nên

$Q_1=0,95+\frac{\frac{85}{4}-10}{20}.(1,0-0,95)\approx 0,98$.

- Tứ phân vị thứ ba của dãy số liệu là $\frac{1}{2}$(x₆₃ + x₆₄) ∈ [1,0; 1,05) nên

$Q_3=1,0+\frac{\frac{3.85}{4}-30}{35}.(1,05-1,0)\approx 1,05$.

Bài 4 trang 141 Toán 11 Tập 1: Cân nặng của một số lợn con mới sinh thuộc hai giống A và B được cho ở biểu đồ dưới đây (đơn vị : kg).

a) Hãy so sánh cân nặng của lợn con mới sinh giống A và giống B theo số trung bình và trung vị.

b) Hãy ướng lượng tứ phân vị thứ nhất và thứ ba của cân nặng lợn con mới sinh giống A và cân nặng lợn con mới sinh giống B.

Lời giải:

a) Ta có bảng tần số ghép lớp như sau:

+) Ước lượng cân nặng trung bình của lợn con giống A là:

$\overline{x_1}=\frac{1,05.8+1,15.28+1,25.32+1,35.17}{8+28+32+17}\approx 1,22$ (kg).

+) Ước lượng cân nặng trung bình của lợn con giống B là:

$\overline{x_2}=\frac{1,05.13+1,15.14+1,25.24+1,35.14}{13+14+24+14}\approx 1,21$ (kg).

Suy ra cân nặng trung bình của hai giống lợn con đều gần như nhau.

+) Tổng số lợn con giống A là 85 con.

Gọi x₁; ...; x₈₅ là cân nặng của một số lợn con mới sinh thuộc giống A theo thứ tự không giảm.

Ta có: x₁; ...; x₈ ∈ [1,0; 1,1), x₉; ...; x₃₆ ∈ [1,1; 1,2), x₃₇; ...; x₆₈ ∈ [1,2; 1,3), x₆₉; ...; x₈₅ ∈ [1,3; 1,4).

Tứ phân vị thứ hai của mẫu số liệu là giá trị x₄₃ ∈ [1,2; 1,3) nên

$Q_2=1,2+\frac{\frac{85}{2}-36}{32}.(1,3-1,2)\approx 1,22$ (kg).

- Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu là $\frac{1}{2}$(x₂₁ + x₂₂) và x₂₁, x₂₂ ∈ [1,1; 1,2) nên

$Q_1=1,1+\frac{\frac{85}{4}-8}{28}.(1,2-1,1)\approx 1,15$ (kg).

- Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu là $\frac{1}{2}$(x₆₃ + x₆₄) và x₆₃; x₆₄ ∈ [1,2; 1,3) nên

$Q_3=1,2+\frac{\frac{3.85}{4}-36}{32}.(1,3-1,2)\approx 1,29$ (kg).

+) Tổng số lợn con giống B là 65 con.

Gọi y₁; ...; y₆₅ là cân nặng của một số lợn con mới sinh thuộc giống B theo thứ tự không giảm.

Ta có: y₁; ...; y₁₃ ∈ [1,0; 1,1), y₁₄; ...; y₂₇ ∈ [1,1; 1,2), y₂₈; ...; y₅₁ ∈ [1,2; 1,3), y₅₂; ...; y₆₅ ∈ [1,3; 1,4).

Tứ phân vị thứ hai của mẫu số liệu là giá trị y₃₃ ∈ [1,2; 1,3) nên

$Q_2=1,2+\frac{\frac{65}{2}-27}{24}.(1,3-1,2)\approx 1,22$ (kg).

- Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu là $\frac{1}{2}$(y₁₆ + y₁₇) và y₁₆, y₁₇ ∈ [1,1; 1,2) nên

$Q_1=1,1+\frac{\frac{65}{4}-13}{14}.(1,2-1,1)\approx 1,12$ (kg).

- Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu là $\frac{1}{2}$(y₄₉ + x₅₀) và y₄₉; y₅₀ ∈ [1,2; 1,3) nên

$Q_3=1,2+\frac{\frac{3.65}{4}-27}{24}.(1,3-1,2)\approx 1,29$ (kg).

Xem thêm các bài giải SGK Toán 11 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Bài tập cuối chương 4

Bài 1: Số trung bình và mốt của mẫu số liệu ghép nhóm

Bài tập cuối chương 5

Bài 1: Tìm hiểu hàm số lượng giác bằng phần mềm GeoGebra

Bài 2: Dùng công thức cấp số nhân để dự báo dân số