Giải Toán 11 Bài 1: Góc lượng giác
Lời giải:
Sau bài học này ta sẽ trả lời được như sau:
Các chuyển động này có:
+) Điểm chung là: Đều chuyển động quay từ điểm A đến điểm B.
+) Điểm khác là: Góc lượng giác.
1. Góc lượng giác
Khái niệm góc lượng giác
a) Khi quay bánh lái ngược chiều kim đồng hồ (Hình 1), cứ mỗi giây, bánh lái quay một góc 60°. Bảng dưới dây cho ta góc quay α của thanh OM sau t giây kể từ lúc bắt đầu quay. Thay dấu ? bằng số đo thích hợp.
Thời gian t (giây) |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
Góc quay α |
60° |
120° |
? |
? |
? |
? |
b) Nếu bánh lái được quay theo chiều ngược lại, nghĩa là quay cùng chiều kim đồng hồ (Hình 2) với cùng tốc độ như trên, người ta ghi – 60° để chỉ góc mà thanh OM quay được sau mỗi giây. Bảng dưới đây cho ta góc quay α của thanh OM sau t giây kể từ lúc bắt đầu quay. Thay dấu ? bằng số đo thích hợp.
Thời gian t (giây) |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
Góc quay α |
– 60° |
– 120° |
? |
? |
? |
? |
Lời giải:
a) Vì cứ mỗi giây, bánh lái quay một góc 60° nên tương ứng ta có:
Với t = 1 (giây) thì α = 60°;
Với t = 2 (giây) thì α = 2.60° = 120°;
Với t = 3 (giây) thì α = 3.60° = 180°;
Với t = 4 (giây) thì α = 4.60° = 240°;
Với t = 5 (giây) thì α = 5.60° = 300°;
Với t = 6 (giây) thì α = 6.60° = 360°;
Khi đó ta có bảng:
Thời gian t (giây) |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
Góc quay α |
60° |
120° |
180° |
240° |
300° |
360° |
b) Vì cứ mỗi giây, bánh lái quay một góc – 60° nên tương ứng ta có:
Với t = 1 (giây) thì α = – 60°;
Với t = 2 (giây) thì α = 2.(– 60°) = – 120°;
Với t = 3 (giây) thì α = 3.(– 60°) = – 180°;
Với t = 4 (giây) thì α = 4.(– 60°) = – 240°;
Với t = 5 (giây) thì α = 5.(– 60°) = – 300°;
Với t = 6 (giây) thì α = 6.(– 60°) = – 360°;
Khi đó ta có bảng:
Thời gian t (giây) |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
Góc quay α |
– 60° |
– 120° |
– 180° |
– 240° |
– 300° |
– 360° |
Lời giải:
Số đo góc lượng giác (OM, ON) trong Hình 6a là 60°.
Số đo góc lượng giác (OM, ON) trong Hình 6b là 2.360° + 60° = 780°.
Số đo góc lượng giác (OM, ON) trong Hình 6c là – (360° – 60°) = –300°.
Lời giải:
Từ 0 giờ đến 2 giờ, kim phút quay được 2 vòng tròn tương ứng với quét một góc: 2.360° = 720°.
Còn 15 phút còn lại kim phút quay quét thêm một góc lượng giác là: 90°.
Vì vậy từ 0 giờ đến 2 giờ 15 phút, kim phút quét một góc lượng giác: 720° + 90° = 810°.
Hệ thức Chasles (Sa-lơ)
Hoạt động khám phá 2 trang 9 Toán 11 Tập 1: Cho Hình 7:
a) Xác định số đo các góc lượng giác (Oa, Ob), (Ob, Oc) và (Oa, Oc).
b) Nhận xét về mối liên hệ giữa ba số đo góc này.
Lời giải:
a) Số đo của góc lượng giác (Oa, Ob) có tia đầu là Oa và tia cuối là Ob là 135°.
Số đo của góc lượng giác (Ob, Oc) có tia đầu là Ob và tia cuối là Oc là – 80°.
Ta có: .
Khi đó số đo của góc lượng giác (Oa, Oc) có tia đầu là Oa và tia cuối là Oc là 55° + 360° = 415°.
b) Ta có: 135° + (– 80°) = 415° – 360°.
Vậy (Oa, Ob) + (Ob, Oc) = (Oa, Oc) – 360°.
Lời giải:
Chiếc quạt có ba cạnh được phân bố đều nhau nên .
+) Với ba tia OM, Ox và ON, ta có:
(Ox, OM) + (OM, ON) = (Ox, ON) + k1360° (k1 ∈ ℤ)
⇒ (Ox, ON) = (Ox, OM) + (OM, ON) – k1360°
⇒ (Ox, ON) = 120° + (– 50°) – k1360°
⇒ (Ox, ON) = 70° – k1360°.
+) Với ba tia Ox, ON, OP, ta có:
(Ox, ON) + (ON, OP) = (Ox, OP) + k2360° (k2 ∈ ℤ)
⇒ (Ox, OP) = (Ox, ON) + (ON, OP) – k2360°
⇒ (Ox, OP) = 70° – k1360° + 120° – k2360°
⇒ (Ox, OP) = 190° – (k1 + k2) 360°
⇒ (Ox, OP) = 190° – k 360° (với k = k1 + k2).
2. Đơn vị radian
Lời giải:
Tiến hành đo góc ta được .
3. Đường tròn lượng giác
Thực hành 2 trang 11 Toán 11 Tập 1: Hoàn thành bảng chuyển đổi đơn vị đo của các góc sau đây:
Số đo theo độ |
0° |
? |
45° |
60° |
? |
120° |
? |
150° |
180° |
Số đo theo rad |
0 rad |
rad |
? |
? |
rad |
? |
rad |
? |
rad |
Lời giải:
Ta có:
rad;
rad.
Số đo theo độ |
0° |
30° |
45° |
60° |
90° |
120° |
135° |
150° |
180o |
Số đo theo rad |
0 rad |
rad |
rad |
rad |
rad |
rad |
rad |
rad |
rad |
a) Cho điểm B(0; 1). Số đo góc lượng giác (OA, OB) bằng bao nhiêu radian?
b) Xác định các điểm A’ và B’ trên đường tròn sao cho các góc lượng giác (OA, OA’) và (OA, OB’) có số đo lần lượt là π và .
Lời giải:
Ta có hình vẽ:
a) Ta có: Số đo góc lượng giác (OA, OB) bằng 90°.
b) Điểm A’ là điểm nằm trên đường tròn lượng giác thỏa mãn (OA, OA’) bằng π. Khi đó ta có hình vẽ:
Điểm B’ là điểm nằm trên đường tròn lượng giác thỏa mãn (OA, OB’) bằng . Khi đó ta có hình vẽ:
a) – 1 485°;
b) .
Lời giải:
a) Ta có: – 1 485° = – 45° + ( – 4).360°.
Biểu diễn góc trên đường tròn lượng giác ta được:
b) Ta có:
Biểu diễn góc trên đường tròn lượng giác ta được:
Bài tập
Bài 1 trang 12 Toán 11 Tập 1: Đổi số đo của các góc dưới đây sang radian:
a) 38°;
b) – 115°;
c) .
Lời giải:
a) Ta có: 38° = rad;
b) – 115° = rad;
c) rad.
Bài 2 trang 12 Toán 11 Tập 1: Đổi số đo của các góc sau đây sang độ:
a) ;
b) – 5;
c) .
Lời giải:
a) Ta có: rad = .
b) Ta có: – 5 rad = ;
c) Ta có: rad = .
Bài 3 trang 12 Toán 11 Tập 1: Biểu diễn các góc lượng giác sau trên đường tròn lượng giác:
a) ;
b) ;
c) – 765°.
Lời giải:
a) Ta có:
Vì vậy điểm biếu diễn góc lượng giác có số đo là điểm nằm trên phần đường tròn lượng giác thuộc góc phần tư thứ I sao cho hay .
Biểu diễn góc này trên đường tròn lượng giác ta được:
b) Ta có:
Biểu diễn góc này trên đường tròn lượng giác ta được:
c) Ta có: – 765° = (– 2).360° – 45°
Biểu diễn góc này trên đường tròn lượng giác ta được:
Lời giải:
Hai góc lượng giác α và β có cùng điểm biểu diễn trên đường tròn lượng giác khi tồn tại số nguyên k khác 0 thỏa mãn: α = k.2π + β
Ta có:
(thỏa mãn) nên có cùng điểm biểu diễn với góc lượng giác
(không thỏa mãn) nên không có cùng điểm biểu diễn với góc lượng giác (thỏa mãn) nên có cùng điểm biểu diễn với góc lượng giác
Lời giải:
Công thức số đo tổng quát của các góc lượng giác (OA, OM) là:
(OA, OM) = 120° + k360° (k ∈ ℤ).
Công thức số đo tổng quát của các góc lượng giác (OA, ON) là:
(OA, ON) = – 75° + k360° (k ∈ ℤ).
Lời giải:
Vì bánh ô tô được chia làm 5 phần đều nhau nên mỗi phần sẽ có số đo góc là: 360° : 5 = 72°. Góc MON chiếm 2 phần nên có số đo góc là 2.72° = 144°.
Khi đó .
Vậy công thức số đo tổng quát của góc lượng giác (Ox, ON) = 27° + k.360°.
a) ;
b) .
Lời giải:
a) Với k = 0 thì có góc lượng giác có số đo góc là , được biểu diễn bởi điểm M;
Với k = 1 thì có góc lượng giác có số đo góc là , được biểu diễn bởi điểm N;
Với k = 2 thì có góc lượng giác có số đo góc là nên cũng được biểu diễn bởi điểm M;
Với k = 3 thì có góc lượng giác có số đo góc là nên cũng được biểu diễn bởi điểm N.
Vậy với k chẵn thì các góc lượng giác có số đo dạng được biểu diễn bởi điểm M, với k lẻ thì các góc lượng giác có số đo dạng được biểu diễn bởi điểm N khi đó ta có hình vẽ sau:
b) Với k = 0 thì có góc lượng giác có số đo góc là 0, được biểu diễn bởi điểm A;
Với k = 1 thì có góc lượng giác có số đo góc là , được biểu diễn bởi điểm M;
Với k = 2 thì có góc lượng giác có số đo góc là được biểu diễn bởi điểm B;
Với k = 3 thì có góc lượng giác có số đo góc là được biểu diễn bởi điểm N;
Với k = 4 thì có góc lượng giác có số đo góc là được biểu diễn bởi điểm A’;
Với k = 5 thì có góc lượng giác có số đo góc là được biểu diễn bởi điểm M’;
Với k = 6 thì có góc lượng giác có số đo góc là được biểu diễn bởi điểm B’;
Với k = 7 thì có góc lượng giác có số đo góc là được biểu diễn bởi điểm N’;
Với k = 8 thì có góc lượng giác có số đo góc là nên được biểu diễn bởi điểm A;
Vậy các góc lượng giác có số đo dạng được biểu diễn bởi các điểm A, M, B, N, A’, M’, B’, N’. Khi đó ta có hình vẽ sau:
Lời giải:
+) Xét các góc lượng giác có số đo
Với k chẵn ta có các góc lượng giác có số đo được biểu diễn bởi điểm B;
Với k lẻ ta có các góc lượng giác có số đo được biểu diễn bởi điểm B’(0; – 1).
Vì vậy các điểm B, C, D không thể biểu diễn cho các góc lượng giác có số đo .
+) Xét các góc lượng giác có số đo
Với k = 0 ta có góc lượng giác có số đo được biểu diễn bởi điểm D.
Với k = 1 ta có góc lượng giác có số đo được biểu diễn bởi điểm B.
Với k = 2 ta có góc lượng giác có số đo được biểu diễn bởi điểm C.
Với k = 3 ta có góc lượng giác có số đo được biểu diễn bởi điểm D.
Vì vậy các góc lượng giác có số đo được biểu diễn bởi các điểm B, C, D.
+) Xét các góc lượng giác có số đo
Với k = 0 ta có góc lượng giác có số đo được biểu diễn bởi điểm B.
Với k = 1 ta có góc lượng giác có số đo được biểu diễn bởi điểm M.
Với k = 2 ta có góc lượng giác có số đo được biểu diễn bởi điểm C.
Với k = 3 ta có góc lượng giác có số đo được biểu diễn bởi điểm B’.
Với k = 4 ta có góc lượng giác có số đo được biểu diễn bởi điểm D.
Với k = 5 ta có góc lượng giác có số đo được biểu diễn bởi điểm N.
Với k = 6 ta có góc lượng giác có số đo được biểu diễn bởi điểm B.
Ví vậy các điểm B, C, D không thể biểu diễn cho các góc lượng giác có số đo là .
Lời giải:
Ta có:
Độ dài cung chắn góc α là: α.R = .6 371 1,85 km.
Vậy 1 hải lí bằng 1,85 km.
Lời giải:
Kẻ AH vuông góc với IO tại H
Xét tam giác AHI vuông tại H, có:
AH = sinα . IA = 2sinα (m).
AH cũng chính là li độ của A nên s = 2sinα.
Lời giải:
Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của điểm M xuống trục Ox và Oy; gọi E, F lần lượt là hình chiếu của điểm N trên trục Ox và Oy.
Đặt (OA, OM) = , (OA, ON) = .
+) Xét tam giác MHO vuông tại H, có:
MH = sin.MO = sin
Ta có nên sin = sin.
⇒ MH = sin = sinα.
Mà MH = OK nên OK = sinα hay tung độ điểm M bằng sinα.
Ta lại có: OH = cos.MO = cos
Mà nên cos = -cos
⇒ OH = -cos = – cosα do đó hoành độ của điểm M bằng cosα.
Vậy tọa độ điểm M là (cosα; sinα) = .
+) Xét tam giác ONE vuông tại E, có:
NE = sin.ON = sin
Mà = -
⇒ NE = – sinβ.
Mà NE = OF nên OF = – sinβ do đó tung độ điểm N bằng sinβ.
Ta lại có: OE = cos.ON = cos
⇒ OE = cosβ nên hoành độ của điểm M bằng cosβ.
Vậy tọa độ điểm N là
(cosβ; sinβ) =
Xem thêm các bài giải SGK Toán 11 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:
Bài 2: Giá trị lượng giác của một góc lượng giác
Bài 3: Các công thức lượng giác
Bài 4: Hàm số lượng giác và đồ thị giác
Bài 5: Phương trình lượng giác