Giải Toán 11 Bài 3: Đường thẳng và mặt phẳng song song
Lời giải:
Đường thẳng a và mặt phẳng (P) không có điểm chung với nhau.
1. Đường thẳng song song với mặt phẳng
Lời giải:
+) Số điểm chung của MN với mặt phẳng (ABCD) là 0;
+) Số điểm chung của MA với mặt phẳng (ABCD) là 1 điểm (chính là điểm A);
+) Số điểm chung của AC với mặt phẳng (ABCD) là vô số điểm (chính là đường thẳng AC).
Lời giải:
+) BC có hai điểm chung B và C với mặt phẳng (BCD), suy ra BC ⊂ (BCD).
+) AD có một điểm chung duy nhất D với mặt phẳng (BCD), suy ra AD cắt (BCD) tại D.
+) Nếu EF có điểm chung O với (BCD) thì O thuộc giao tuyến BC của hai mặt phẳng (ABC) và (BCD), suy ra EF cắt BC (mâu thuẫn với giải thiết EF là đường trung bình của tam giác ABC).
2. Điều kiện để một đường thẳng song song với một mặt phẳng
a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q).
b) Giả sử a có điểm chung M với (P) thì điểm M phải nằm trên đường thẳng nào? Điều này có trái ngược với giả thiết a // b hay không?
Lời giải:
a) Ta có: 
.
b) Theo giả thiết ta có: M ∈ a
Mà (P) ∩ (Q) = {b} nên M ∈ b
Suy ra đường thẳng a phải cắt đường thẳng b điều này là trái với giả thiết a // b.
Lời giải:
+) Ta có: đường thẳng AB chứa hai điểm A, B thuộc (ABC), suy ra AB ⊂ (ABC).
Tương tự ta có BC ⊂ (ABC), AC ⊂ (ABC)
Vì vậy các đường thẳng nằm trong mặt phẳng (ABC) là: AB, BC, AC.
+) Ta có: đường thẳng SA có điểm A chung với (ABC), duy ra SA cắt (ABC) tại A.
Tương tự ta có: SB, SC lần lượt cắt (ABC) tại B, C.
Vì vậy các đường thẳng cắt mặt phẳng (ABC) là: SA, SB, SC.
+) Ta có: A’B’ // AB mà AB ⊂ (ABC) nên A’B’ // (ABC).
Tương tự ta có: A’C’ // (ABC) và B’C’ // (ABC).
Lời giải:
Các đường thẳng trên trần nhà song song với mặt sàn do không có điểm chung với mặt sàn.
Các đường thẳng ở góc tường, trên bốn bức tường là các đường thẳng cắt mặt sàn.
Các đường thẳng nằm trong mặt sàn là các đường thẳng nằm ở trên sàn.
3. Tính chất cơ bản của đường thẳng và mặt phẳng song song
Lời giải:
+) Nếu đường thẳng a cắt đường thẳng b tại một điểm M thì M ∈ (P), suy ra a và (P) có một điểm chung là M điều này trái với giả thiết là đường thẳng a // (P).
+) Nếu đường thẳng a và đường thẳng b trùng nhau thì a ⊂ (P), suy ra a và (P) có vô số điểm chung điều này trái với giả thiết là đường thẳng a // (P).
+) Nếu đường thẳng a song song với đường thẳng b thì a và b không có điểm chung nên điều này phù hợp với giả thiết là đường thẳng a // (P).
Vậy trong (Q) hai đường thẳng a và b không có điểm chung nào.
a) Có nhật xét gì về mối liên hệ giữa b và (P).
b) Gọi (P’) là mặt phẳng chứa a và song song với b. Có nhận xét gì về mối liên hệ giữa b’ và (P’); (P) và (P’)?
Lời giải:
a) Ta có: đường thẳng a và b chéo nhau nên a và b không đồng phẳng do đó b không nằm trong mặt phẳng (P)
Ta lại có: b // b’ mà b’ ⊂ (P) nên b // (P).
b) Ta có: b // (P’) , M ∈ a ⊂ (P’) , b’ // b nên b’ ⊂ (P’).
Ta lại có: (P) = mp(a, b) = mp(a’, b’) = (P’).
a) MN song song với hai mặt phẳng (SBC) và (SAD);
b) SB và SC song song với mặt phẳng (MNE).
Lời giải:
a) Trong mặt phẳng (ABCD) có MN là đường trung bình của hình bình hành ABCD nên MN // BC// AD.
Ta có: MN // BC mà BC ⊂ (SBC) nên MN // (SBC).
Ta lại có: MN // AD mà AD ⊂ (SAD) nên MN // (SAD).
b)
Trong mặt phẳng (ABCD) gọi O là giao điểm của AC và BD, khi đó O là trung điểm của AC.
+) Xét tam giác SAC có E là trung điểm của SA, O là trung điểm của AC nên EO là đường trung bình của tam giác. Do đó EO // SC.
Mặt khác EO ⊂ (MNE) nên SC // (MNE).
+) Xét tam giác SAB có E là trung điểm của SA, M là trung điểm của AB nên EM là đường trung bình của tam giác. Do đó EM // SB.
Mặt khác EM ⊂ (MNE) nên SB // (MNE).
Lời giải:
Gọi mỗi nửa sách là một mặt phẳng có tên lần lượt là (P) và (Q).
Đường thẳng b là giao điểm của hai mặt phẳng (P) và (Q).
Để đường thẳng a // (P) và a // (Q) thì a // b .
Vậy ta chỉ cần đặt thước kẻ a song song với lề sách thì a sẽ song song với các trang của cuốn sách.
Bài tập
a) Chứng minh đường thẳng OM song song với hai mặt phẳng (SAD) và (SBD).
b) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (OMD) và (SAD).
Lời giải:
a) Trong mặt phẳng (SAC) có OM // SA mà SA ⊂ (SAD) nên OM // (SAD).
Mặt khác SA ⊂ (SAB) nên OM // (SAB).
b) Ta có: D ∈ (OMD) ∩ (SAD) mà OM // SA nên giao tuyến của hai mặt phẳng (OMD) và (SAD) là đường thẳng s đi qua D và song song với SA.
a) Chứng minh đường thẳng OO’ song song với các mặt phẳng (CDEF), (ADF) và (BCE).
b) Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AF và BE. Chứng minh MN // (CDFE).
c) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (OMN) và (ABCD).
Lời giải:
a) Vì O là tâm hình bình hành ABCD nên O là trung điểm AC và BD, O’ là tâm của hình bình hành ABEF nên O’ là trung điểm AE và BF.
+) Ta có: OO’ // FD (tính chất đường trung bình trong tam giác BDF), mà FD ⊂ (CDEF). Do đó OO’ // (CDEF).
+) Ta lại có: FD ⊂ (ADF) nên OO’ // (ADF).
+) Ta có: OO’ // EC (tính chất đường trung bình trong tam giác ACE), mà EC ⊂ (BCE). Do đó OO’ // (BCE).
b) Vì M và N lần lượt là trung điểm của AF và BE nên MN là đường trung bình của ABEF, suy ra MN // EF mà EF ⊂ (CDEF). Do đó MN // (CDEF).
c) Ta có MN // AB mà AB ⊂ (ABCD) và MN ⊂ (OMN)
Ta lại có: O ∈ (OMN) ∩ (ABCD)
Do đó giao tuyến của (OMN) và (ABCD) là đường thẳng đi d qua O và song song với AB.
a) MNPQ là hình gì?
b) Gọi I = MQ ∩ NP. Chứng minh rằng I luôn luôn thuộc một đường thẳng cố định khi M di động trên AD.
Lời giải:
a) Trong mặt phẳng (ABCD), từ M kẻ đường thẳng song song CD cắt BC tại N.
Gọi K là giao điểm của MN và AC.
Trong mặt phẳng (SAC), từ K kẻ đường thẳng song song với SA cắt SC tại P.
Trong mặt phẳng (SCD), từ P kẻ đường thẳng song song với CD cắt SD ở Q.
Mặt phẳng (MNPQ) chính là mặt phẳng (α) cần dựng.
b) Gọi d là giao tuyến của (SAD) ∩ (SBC)
Ta có: 
Mà S ∈ (SAD) ∩ (SBC) nên S ∈ d
Ta lại có: 
Do đó I ∈ d
Vì vậy I thuộc đường thẳng d cố định đi qua S và song song với AD.
a) Chứng minh MNPQ là hình bình hành.
b) Trong trường hợp nào thì MNPQ là hình thoi?
Lời giải:
a) Trong mặt phẳng (ABC) từ điểm M kẻ đường thẳng song song với BC cắt AC tại N.
Trong mặt phẳng (ACD) từ điểm N kẻ đường thẳng song song với AD cắt cạnh CD tại P.
Trong mặt phẳng (BCD) từ điểm P kẻ đường thẳng song song với BC cắt cạnh BD tại Q.
Nối M với Q lại ta được mặt phẳng (MNPQ) chính là mặt phẳng (α) cần dựng.
Xét tứ giác MNPQ, có:
MN // QP (cùng // BC)
MQ // NP (cùng //AD)
Do đó tứ giác MNPQ là hình bình hành (theo dấu hiệu nhận biết).
b) Để tứ giác MNPQ là hình thoi thì MN = NP, điều này xảy ra trong trường hợp M là trung điểm của AB và AD = BC.
Lời giải:
+) Giao tuyến của (P) và (ABCD):
Từ điểm M kẻ đường thẳng song song với BC cắt AB tại N
Suy ra giao tuyến của (P) và (ABCD) là MN.
+) Giao tuyến của (P) và (SAB):
Từ điểm N kẻ đường thẳng song song với SA cắt SB tại P
Suy ra giao tuyến của (P) và (SAB) là NP.
+) Giao tuyến của (P) và (SBC):
Từ điểm P kẻ đường thẳng song song với BC cắt SC tại Q
Suy ra giao tuyến của (P) và (SBC) là PQ.
+) Giao tuyến của (P) và (SDC) là MQ.
+) Giao tuyến của (P) và (SAD):
Kéo dài MN cắt AD tại K, từ K kẻ đường thẳng d song song với SA.
Suy ra giao tuyến (P) và (SAD) là d.
Lời giải:
Đường thẳng a và e nằm trong mặt phẳng (P).
Đường thẳng d cắt mặt phẳng (P) tại một điểm.
Đường thẳng b và đường thẳng c song song với mặt phẳng (P).
Xem thêm các bài giải SGK Toán 11 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:
Bài 1: Điểm, đường thẳng và mặt phẳng trong không gian
Bài 2: Hai đường thẳng song song
