Giải SGK Toán 10 (Chân trời sáng tạo) Bài 2: Giải bất phương trình bậc hai một ẩn

1900.edu.vn xin giới thiệu giải bài tập Toán lớp 10 Bài 2: Giải bất phương trình bậc hai một ẩn sách Chân trời sáng tạo hay nhất, chi tiết giúp học sinh dễ dàng làm bài tập Toán 10 Bài 2. Mời các bạn đón xem:

Giải Toán 10 Bài 2: Giải bất phương trình bậc hai một ẩn

Hoạt động khởi động trang 11 Toán lớp 10 Tập 2: Với giá trị nào của x thì tam thức bậc hai f(x) = 2x2 – 5x + 3 mang dấu dương?

Lời giải:

Xét tam thức f(x) = 2x2 – 5x + 3 có ∆ = (-5)2 – 4.2.3 = 25 – 24 = 1 > 0. Do đó f(x) có hai nghiệm phân biệt x1 = 1 và x2 = 32 và a = 2 > 0.

Ta có bảng xét dấu sau:

Hoạt động khởi động trang 11 Toán lớp 10 Tập 2 Chân trời sáng | Giải Toán lớp 10

Dựa vào bảng xét dấu ta thấy f(x) âm khi x thuộc khoảng 1;32 và f(x) dương khi x thuộc khoảng (-∞; 1) và 32;+ .

Hoạt động khám phá trang 11 Toán lớp 10 Tập 2: Lợi nhuận (I) thu được trong một ngày từ việc kinh doanh một loại gạo của cửa hàng phụ thuộc vào giá bán (x) của một kilôgam loại gạo đó theo công thức I = - 3x2 + 200x – 2 325, với I và x được tính bằng nghìn đồng. Giá trị x như thế nào thì cửa hàng có lãi từ loại gạo đó.

Lời giải:

Vì x là giá bán của một kilôgam gạo nên x ≥ 0

Đặt f(x) = - 3x2 + 200x – 2 325 là tam thức bậc hai với a = -3, b = 200, c = -2 325.

Ta có ∆ = 2002 – 4.(-3).(-2 325) = 12 100 > 0. Do đó phương trình có hai nghiệm phân biệt là x1 = 15 và x2 = 1553 và a = -3 < 0.

Khi đó ta có bảng xét dấu:

Hoạt động khám phá trang 11 Toán lớp 10 Tập 2 Chân trời sáng | Giải Toán lớp 10

Suy ra f(x) dương khi x thuộc khoảng 15;1553 và f(x) âm khi x thuộc hai khoảng (0; 15) và 1553;+ .

Cửa hàng có lãi từ loại gạo đó khi I > 0 hay f(x) > 0.

Vậy với x thuộc khoảng 15;1553 thì cửa hàng có lãi từ loại gạo đó.

Thực hành 1 trang 11 Toán lớp 10 Tập 2: Các bất phương trình nào sau đây là bất phương trình bậc hai một ẩn? Nếu là bất phương trình bậc hai một ẩn, x = 2 có là nghiệm của bất phương trình đó hay không?

a) x2 + x – 6 ≤ 0;

b) x + 2 > 0;

c) – 6x2 – 7x + 5 > 0.

Lời giải:

a) x2 + x – 6 ≤ 0 có dạng ax2 + bx + c ≤ 0 với a = 1, b = 1, c = -6 là một bất phương trình bậc hai một ẩn.

Vì 22 + 2 – 6 = 0 nên x = 2 là một nghiệm của bất phương trình bậc hai một ẩn đã cho.

b) x + 2 > 0 không là bất phương trình bậc hai một ẩn.

c) – 6x2 – 7x + 5 > 0 có dạng ax2 + bx + c > 0 với a = -6, b = -7 và c = 5 là một bất phương trình bậc hai một ẩn.

Vì -6.22 – 7.2 + 5 = -33 < 0 nên x = 2 không là một nghiệm của bất phương trình bậc hai một ẩn đã cho.

Thực hành 2 trang 12 Toán lớp 10 Tập 2: Giải các bất phương trình bậc hai sau:

a) 15x2 + 7x – 2 ≤ 0;

b) – 2x2 + x – 3 < 0.

Lời giải:

a) Xét tam thức bậc hai f(x) = 15x2 + 7x – 2 có ∆ = 72 – 4.(-2).15 = 169 > 0. Do đó f(x) có hai nghiệm phân biệt x1 = 15 , x2 = 23 và a = 15 > 0.

Suy ra f(x) nhỏ hơn hoặc bằng 0 khi x thuộc khoảng Thực hành 2 trang 12 Toán lớp 10 Tập 2 Chân trời sáng | Giải Toán lớp 10.

Vậy bất phương trình 15x2 + 7x – 2 ≤ 0 có tập nghiệm là S = Thực hành 2 trang 12 Toán lớp 10 Tập 2 Chân trời sáng | Giải Toán lớp 10 .

b) Xét tam thức bậc hai g(x) = – 2x2 + x – 3 có ∆ = 12 – 4.(-2).(-3) = -23 < 0 và a = -2. Do đó g(x) vô nghiệm.

Suy ra g(x) luôn âm với mọi x ∈ ℝ.

Vậy bất phương trình – 2x2 + x – 3 < 0 có tập nghiệm S = ℝ.

Vận dụng trang 12 Toán lớp 10 Tập 2: Hãy giải bất phương trình lập được trong hoạt động khám phá và tìm giá bán gạo sao cho cửa hàng đó có lãi.

Lời giải:

Ta có x là giá bán của một kilôgam gạo

Xét tam thức bậc hai f(x) = - 3x2 + 200x – 2 325 có ∆ = 2002 – 4.(-3).(-2 325) = 12 100 > 0. Do đó phương trình có hai nghiệm phân biệt là x1 = 15 và x2 = 1553 và a = -3 < 0.

Suy ra f(x) dương khi x thuộc khoảng 15;1553 .

Cửa hàng có lãi từ loại gạo đó khi I > 0 hay f(x) > 0.

Suy ra với x thuộc khoảng 15;1553 thì cửa hàng có lãi từ loại gạo đó.

Vậy với giá bán gạo trong khoảng 15 nghìn đồng đến 1553 nghìn đồng thì cửa hàng có lãi từ loại gạo đó.

Bài tập

Bài 1 trang 12 Toán lớp 10 Tập 2: Dựa vào đồ thị của hàm số bậc hai tương ứng, hãy xác định tập nghiệm của các bất phương trình bậc hai sau đây:

a) x2 + 2,5x – 1,5 ≤ 0;

Bài 1 trang 12 Toán lớp 10 Tập 2 Chân trời sáng | Giải Toán lớp 10

b) – x2 – 8x – 16 < 0

Bài 1 trang 12 Toán lớp 10 Tập 2 Chân trời sáng | Giải Toán lớp 10

c) – 2x2 + 11x – 12 > 0

Bài 1 trang 12 Toán lớp 10 Tập 2 Chân trời sáng | Giải Toán lớp 10

d) 12 x2 + 12 x + 1 ≤ 0

Bài 1 trang 12 Toán lớp 10 Tập 2 Chân trời sáng | Giải Toán lớp 10

Lời giải:

a)

Bài 1 trang 12 Toán lớp 10 Tập 2 Chân trời sáng | Giải Toán lớp 10

Dựa vào hình vẽ ta thấy:

Đồ thị hàm số f(x) cắt trục hoành tại hai điểm có hoành độ lần lượt là x1 = -3 và x2 = 12 hay với x1 = -3 và x2 = 12 thì f(x) = 0.

Trong hai khoảng (-∞; - 3) và 12;+ đồ thị hàm số f(x) nằm phía trên trục hoành hay f(x) > 0 khi x thuộc hai khoảng (-∞; - 3) và 12;+ .

Trong khoảng 3;12 đồ thị hàm số f(x) nằm phía dưới trục hoành hay f(x) < 0 khi x thuộc khoảng 3;12 .

Vậy bất phương trình x2 + 2,5x – 1,5 ≤ 0 có tập nghiệm là Bài 1 trang 12 Toán lớp 10 Tập 2 Chân trời sáng | Giải Toán lớp 10.

b)

Bài 1 trang 12 Toán lớp 10 Tập 2 Chân trời sáng | Giải Toán lớp 10

Dựa vào hình vẽ ta thấy:

Đồ thị hàm số f(x) cắt trục hoành tại một điểm có hoành độ x = -4 hay f(x) = 0 khi x = -4.

Với x ≠ -4 thì đồ thị hàm số f(x) nằm phía dưới trục hoành nên f(x) < 0 với x ≠ -4.

Vậy bất phương trình – x2 – 8x – 16 < 0 có tập nghiệm là S = ℝ\{-4}.

c)

Bài 1 trang 12 Toán lớp 10 Tập 2 Chân trời sáng | Giải Toán lớp 10

Dựa vào hình vẽ ta thấy:

Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt có hoành độ lần lượt x1 = 32 và x2 = 4 hay f(x) = 0 khi x1 = 32 và x2 = 4.

Đồ thị hàm số f(x) nằm phía dưới trục hoành với x thuộc hai khoảng ;32 và (4; +∞) hay f(x) < 0 với x thuộc ;32 ∪ (4; +∞).

Đồ thị hàm số f(x) nằm phía trên trục hoành với x thuộc khoảng 32;4 hay f(x) > 0 với x thuộc khoảng 32;4 .

Vậy bất phương trình – 2x2 + 11x – 12 > 0 có tập nghiệm S = 32;4 .

d)

Bài 1 trang 12 Toán lớp 10 Tập 2 Chân trời sáng | Giải Toán lớp 10

Dựa vào hình vẽ ta thấy:

Đồ thi hàm số f(x) nằm phía trên trục hoành với mọi x hay f(x) > 0 với x ∈ ℝ.

Vậy bất phương trình 12x2 + 12x + 1 ≤ 0 có tập nghiệm S = .

Bài 2 trang 13 Toán lớp 10 Tập 2: Giải các bất phương trình bậc hai sau:

a) 2x2 – 15x + 28 ≥ 0;

b) – 2x2 + 19x + 255 > 0;

c) 12x2 < 12x – 8;

d) x2 + x – 1 ≥ 5x2 – 3x.

Lời giải:

a) Tam thức bậc hai f(x) = 2x2 – 15x + 28 có ∆ = (-15)2 – 4.2.28 = 1 > 0. Do đó phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 = 4, x2 = 72 và a = 2 > 0.

Do đó f(x) dương với mọi x thuộc hai khoảng (-∞; 4) và 72;+ và f(x) = 0 với x = 4, x = 72 .

Vậy bất phương trình 2x2 – 15x + 28 ≥ 0 có tập nghiệm là S = (-∞; 4] ∪ Bài 2 trang 13 Toán lớp 10 Tập 2 Chân trời sáng | Giải Toán lớp 10.

b) Tam thức bậc hai g(x) = – 2x2 + 19x + 255 có ∆ = 192 – 4.(-2).255 = 2 401 > 0. Do đó g(x) có hai nghiệm phân biệt x1 = 17, x2 = 152 và a = - 2 < 0.

Suy ra g(x) dương khi x thuộc khoảng 152;17.

Vậy bất phương trình – 2x2 + 19x + 255 > 0 có tập nghiệm S = 152;17.

c) Ta có: 12x2 < 12x – 8 ⇔ 12x2 – 12x + 8 < 0

Tam thức bậc hai h(x) = 12x2 – 12x + 8 có ∆ = (-12)2 – 4.12.8 = -240 < 0. Do đó h(x) vô nghiệm và a = 12 > 0.

Suy ra h(x) dương với mọi giá trị của x.

Vậy bất phương trình 12x2 < 12x – 8 có tập nghiệm là S = .

d) Ta có: x2 + x – 1 ≥ 5x2 – 3x ⇔ - 4x2 + 4x – 1 ≥ 0

Tam thức bậc hai k(x) = – 4x2 + 4x – 1 có ∆ = 42 – 4.(-4).(-1) = 0. Do đó k(x) có nghiệm kép x1 = x2 = 12 và a = - 4 < 0.

Suy ra k(x) = 0 khi x = 12 và k(x) < 0 với mọi x ≠ 12.

Vậy bất phương trình x2 + x – 1 ≥ 5x2 – 3x có tập nghiệm S = Bài 2 trang 13 Toán lớp 10 Tập 2 Chân trời sáng | Giải Toán lớp 10.

Bài 3 trang 13 Toán lớp 10 Tập 2: Kim muốn trồng một vườn hoa trên mảnh đất hình chữ nhật và làm hàng rào bao quanh. Kim chỉ có đủ vật liệu để làm 30m hàng rào nhưng muốn diện tích vườn hoa ít nhất là 50m2. Hỏi chiều rộng vườn hoa nằm trong khoảng nào?

Lời giải:

Mảnh đất hình chữ nhật có 30m hàng rào nghĩa là chu vi mảnh đấy hình chữ nhật là 30m. Khi đó nửa chu vi của hình chữ nhật là 30 : 2 = 15 (m).

Gọi chiều rộng mảnh đất hình chữ nhật là x (m) (0 < x < 15).

Chiều dài hình chữ nhật là: 15 – x (m).

Diện tích mảnh đất hình chữ nhật là x(15 – x) = - x2 + 15x (m).

Vì diện tích mảnh vườn hoa ít nhất là 50 m2 nên – x2 + 15x ≥ 50 ⇔ - x2 + 15x – 50 ≥ 0.

Tam thức bậc hai – x2 + 15x – 50 có ∆ = 152 – 4.(-1).(-50) = 25 > 0. Do đó f(x) có hai nghiệm phân biệt x1 = 5, x2 = 10 và a = -1 < 0.

Suy ra f(x) dương khi x nằm trong khoảng (5; 10) và f(x) = 0 khi x = 5 hoặc x = 10.

Do đó đó - x2 + 15x – 50 ≥ 0 khi x ∈ [5; 10].

Vậy chiều rộng của mảnh vườn nằm trong đoạn [5; 10] thì thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Bài 4 trang 13 Toán lớp 10 Tập 2: Một quả bóng được ném thẳng ở độ cao 1,6m so với mặt đất với vận tốc 10m/s. Độ cao của bóng so với mặt đất (tính bằng mét) sau t giây được cho bởi hàm số h(t) = - 4,9t2 + 10t + 1,6. Hỏi:

a) Bóng có thể cao trên 7m không?

b) Bóng ở độ cao trên 5m trong khoảng thời gian bao lâu? Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm.

Lời giải:

a) Xét hiệu h(t) – 7 = - 4,9t2 + 10t + 1,6 – 7 = - 4,9t2 + 10t – 5,4 là hàm số bậc hai với a = -4,9, b = 10, c = - 5,4 và ∆ = 102 – 4.(-4,9).(-5,4) = -5,84 < 0. Do đó tam thức -4,9t2 + 10t – 5,4 vô nghiệm và a = - 4,9 > 0 nên - 4,9t2 + 10t – 5,4 < 0 với mọi t hay h(t) – 7 < 0 với mọi t.

⇔ h(t) < 7 với mọi t.

Vì vậy bóng không thể đạt độ cao trên 7m.

b) Bóng ở độ cao trên 5m nghĩa là h(t) ≥ 5 ⇔ -4,9t2 + 10t + 1,6 ≥ 5

⇔ -4,9t2 + 10t + 1,6 – 5 ≥ 0

⇔ -4,9t2 + 10t – 3,4 ≥ 0.

Tam thức k(t) = -4,9t2 + 10t – 3,4 có ∆ = 102 – 4.(-4,9).(-3,4) = 33,36 > 0. Do đó k(t) có hai nghiệm phân biệt t1 ≈ 1,61 và t2 ≈ 0,43.

Suy ra k(t) > 0 khi t ∈ (0,43; 1,61).

Khi đó bóng ở độ cao trên 5m nằm trong khoảng thời gian từ 1,61 – 0,43 = 1,18s.

Vậy trong khoảng thời gian 1,18s thì bóng ở độ cao trên 5m.

Bài 5 trang 13 Toán lớp 10 Tập 2: Mặt cắt ngang của mặt đường thường có dạng hình parabol để nước mưa dễ dàng thoáng sang hai bên. Mặt cắt ngang của một con đường được mô tả bằng hàm số y = - 0,006x2 với gốc tọa độ đặt tại tim đường và đơn vị đo là mét như trong Hình 4. Với chiều rộng của đường như thế nào thì tim đường cao hơn lề đường không quá 15cm.

Bài 5 trang 13 Toán lớp 10 Tập 2 Chân trời sáng | Giải Toán lớp 10

Lời giải:

Gọi A, H, B lần lượt là các điểm trên hình vẽ:

Bài 5 trang 13 Toán lớp 10 Tập 2 Chân trời sáng | Giải Toán lớp 10

Đổi 15cm = 0,15 m

Để tim đường cao hơn lề đường không quá 15cm thì OH ≤ 0,15 hay – (– 0,006x2) ≤ 0,15

⇔ x2 – 25 ≥ 0

Xét tam thức bậc hai f(x) = x2 – 25 có ∆ = 02 – 4.(-25) = 100 > 0, a = 1 > 0. Do đó f(x) có hai nghiệm phân biệt x1 = - 5 và x2 = 5.

Ta có bảng xét dấu:

Bài 5 trang 13 Toán lớp 10 Tập 2 Chân trời sáng | Giải Toán lớp 10

Suy ra f(x) không âm khi x thuộc đoạn [-5; 5].

Tương ứng x1, x2 lần lượt là hoành độ của các điểm A và B. Khi đó AB = |x2 – x1| = |5 – (-5)| = 10.

Vậy độ rộng của đường là 10 m thì tim đường cao hơn lề đường không quá 15cm.

Xem thêm lời giải bài tập SGK Toán lớp 10 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Bài 1: Dấu của tam thức bậc hai

Bài 3: Phương trình quy về phương trình bậc hai

Bài tập cuối chương 7

Bài 1: Quy tắc cộng và quy tắc nhân

Bài 2: Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp

Câu hỏi liên quan

a) Vậy bất phương trình có tập nghiệm là S=[-3;1/2]
Xem thêm
Vậy độ rộng của đường là 10 m thì tim đường cao hơn lề đường không quá 15cm.
Xem thêm
Vậy chiều rộng của mảnh vườn nằm trong đoạn [5; 10] thì thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Xem thêm
a) Vì vậy bóng không thể đạt độ cao trên 7m.
Xem thêm
Vậy với x thuộc khoảng (15;155/3)  thì cửa hàng có lãi từ loại gạo đó.
Xem thêm
Vậy với giá bán gạo trong khoảng 15 nghìn đồng đến 155/3 nghìn đồng thì cửa hàng có lãi từ loại gạo đó.
Xem thêm
Xem tất cả hỏi đáp với chuyên mục: Giải bất phương trình bậc hai một ẩn
Bình luận (0)

Đăng nhập để có thể bình luận

Chưa có bình luận nào. Bạn hãy là người đầu tiên cho tôi biết ý kiến!