Giải Toán 10 Bài 27: Thực hành tính xác suất theo định nghĩa cổ điển
Mở đầu
Lời giải:
Phép thử của bài toán là chọn ngẫu nhiên 6 số trong 45 số: 1; 2; 3; …; 45. Không gian mẫu Ω là tập hợp tất cả các tập con có 6 phần tử của tập {1; 2; 3; …; 45}.
Do đó số phần tử của không gian mẫu là n(Ω) = .
+ Gọi F là biến cố: “Bạn An trúng giải độc đắc”.
Ta có: F là tập hợp có duy nhất 1 phần tử là tập {5; 13; 20; 31; 32; 35}. Do đó, n(F) = 1.
Vậy xác suất để bạn An trúng giải độc đắc là .
+ Gọi G là biến cố: “Bạn An trúng giải nhất”.
Vì nếu bộ số của người chơi trùng với 5 số của bộ số trúng thưởng thì người chơi trúng giải nhất.
Do đó G là tập hợp tất cả các tập con gồm 6 phần tử của tập {1; 2; 3; …; 45} có tính chất: năm phần tử của nó thuộc tập {5; 13; 20; 31; 32; 35} và một phần tử còn lại không thuộc tập {5; 13; 20; 31; 32; 35}. Nghĩa là phần tử còn lại này phải thuộc tập {1; 2; 3; …; 45} \ {5; 13; 20; 31; 32; 35} (tập hợp này gồm 45 – 6 = 39 phần tử).
Mỗi phần tử của G được hình thành từ hai công đoạn.
Công đoạn 1. Chọn 5 phần tử trong tập {5; 13; 20; 31; 32; 35}, có cách chọn.
Công đoạn 2. Chọn 1 phần tử trong 39 phần tử còn lại, có cách chọn.
Theo quy tắc nhân, số phần tử của G là: n(G) = (phần tử).
Vậy xác suất để bạn An trúng giải nhất là .
1. Sử dụng phương pháp tổ hợp
Lời giải:
Ta có thể liệt kê hết các phần tử của Ω, F và G, tuy nhiên, số phần tử của của Ω rất nhiều, do đó việc liệt kê sẽ dài và tốn rất nhiều thời gian.
Lời giải:
Không gian mẫu là tập tất cả các tập con gồm 6 học sinh trong 12 học sinh.
Do đó, n(Ω) = = 924.
Gọi biến cố A: “6 học sinh được chọn số học sinh nữ bằng số học sinh nam”.
Để số học sinh nữ bằng số học sinh nam thì chọn 3 nữ và 3 nam.
Mỗi phần tử của A được hình thành từ hai công đoạn.
Công đoạn 1. Chọn 3 học sinh nữ từ 5 học sinh nữ, có (cách chọn).
Công đoạn 2. Chọn 3 học sinh nam từ 7 học sinh nam, có (cách chọn).
Theo quy tắc nhân, tập A có 10 . 35 = 350 (phần tử). Do đó, n(A) = 350.
Vậy .
2. Sử dụng sơ đồ hình cây
Phép thử T là quay hai bánh xe. Hãy vẽ sơ đồ hình cây mô tả các phần tử của không gian mẫu.
Lời giải:
Theo bài ra, ta vẽ được sơ đồ hình cây mô tả các phần tử của không gian mẫu của phép thử T như sau:
Lời giải:
Theo như sơ đồ cây ở HĐ2, ta có n(Ω) = 8.
Gọi biến cố A: “Người chơi nhận được loại xe 110 cc có màu trắng hoặc màu xanh”.
Ta có n(A) = 2.
Vậy .
a) Vẽ sơ đồ hình cây để mô tả các phần tử của không gian mẫu.
b) Giả thiết rằng khả năng sinh con trai và khả năng sinh con gái là như nhau. Tính xác suất để gia đình đó có một con trai và hai con gái.
Lời giải:
a) Theo bài ra, ta vẽ được sơ đồ hình cây mô tả các phần tử của không gian mẫu như sau:
Đặt cách viết tắt: Gái = G, Trai = T.
Các kết quả có thể là: GGG; GGT; GTG; GTT; TGG; TGT; TTG; TTT.
Do đó: n(Ω) = {GGG; GGT; GTG; GTT; TGG; TGT; TTG; TTT}.
Vậy n(Ω) = 8.
b) Gọi biến cố A: “Gia đình đó có một con trai và hai con gái”.
Ta có: A = {GTG; TGG; GGT}. Do đó, n(A) = 3.
Vậy .
3. Xác suất của biến cố đối
HĐ3 trang 85 Toán 10 Tập 2: Cho E là biến cố và Ω là không gian mẫu. Tính n() theo n(Ω) và n(E).
Lời giải:
Do E và là hai biến cố đối nên biến cố là phần bù của E trong Ω hay .
Hay biến cố đối là tập tất cả các phần tử của Ω mà không là phần tử của E.
Do đó ta có: n() + n(E) = n(Ω).
Vậy n() = n(Ω) – n(E).
a) Vẽ sơ đồ hình cây để mô tả các phần tử của không gian mẫu.
b) Gọi M là biến cố: “Trong ba thẻ rút ra có ít nhất một thẻ số 1”. Biến cố là tập con nào của không gian mẫu?
c) Tính P(M) và P().
Lời giải:
a) Theo bài ra, ta vẽ được sơ đồ hình cây mô tả các phần tử của không gian mẫu như sau:
Ta có: Ω = {121; 122; 131; 132; 221; 222; 231; 232; 321; 322; 331; 332}.
Vậy n(Ω) = 12.
b) Biến cố M: “Trong ba thẻ rút ra có ít nhất một thẻ số 1”.
Do đó, biến cố : "Trong ba thẻ rút ra không có thẻ số 1".
Khi đó: = {222; 232; 322; 332}.
c) Ta có: n()= 4.
Do đó, .
Vì là biến cố đối của biến cố M nên .
Hay
Vậy và .
Vận dụng trang 86 Toán 10 Tập 2: Giải bài toán trong tình huống mở đầu.
Lời giải:
Phép thử của bài toán là chọn ngẫu nhiên 6 số trong 45 số: 1; 2; 3; …; 45. Không gian mẫu Ω là tập hợp tất cả các tập con có 6 phần tử của tập {1; 2; 3; …; 45}.
Do đó số phần tử của không gian mẫu là n(Ω) = .
+ Gọi F là biến cố: “Bạn An trúng giải độc đắc”.
Ta có: F là tập hợp có duy nhất 1 phần tử là tập {5; 13; 20; 31; 32; 35}. Do đó, n(F) = 1.
Vậy xác suất để bạn An trúng giải độc đắc là .
+ Gọi G là biến cố: “Bạn An trúng giải nhất”.
Vì nếu bộ số của người chơi trùng với 5 số của bộ số trúng thưởng thì người chơi trúng giải nhất.
Do đó G là tập hợp tất cả các tập con gồm 6 phần tử của tập {1; 2; 3; …; 45} có tính chất: năm phần tử của nó thuộc tập {5; 13; 20; 31; 32; 35} và một phần tử còn lại không thuộc tập {5; 13; 20; 31; 32; 35}. Nghĩa là phần tử còn lại này phải thuộc tập {1; 2; 3; …; 45} \ {5; 13; 20; 31; 32; 35} (tập hợp này gồm 45 – 6 = 39 phần tử).
Mỗi phần tử của G được hình thành từ hai công đoạn.
Công đoạn 1. Chọn 5 phần tử trong tập {5; 13; 20; 31; 32; 35}, có cách chọn.
Công đoạn 2. Chọn 1 phần tử trong 39 phần tử còn lại, có cách chọn.
Theo quy tắc nhân, số phần tử của G là: n(G) = (phần tử).
Vậy xác suất để bạn An trúng giải nhất là .
Bài tập
b) B: “Có ít nhất một người con trai”.
Lời giải:
Cách 1: Theo Luyện tập 3 trang 85 ta có:
n(Ω) = {GGG; GGT; GTG; GTT; TGG; TGT; TTG; TTT} và n(Ω) = 8.
a) Biến cố A: “Con đầu là gái”, do đó A = {GGG; GGT; GTG; GTT}. Suy ra n(A) = 4.
Vậy .
b) Biến cố B: “Có ít nhất một người con trai”.
Suy ra biến cố : “Không có người con trai nào”.
Khi không có người con trai nào, tức cả ba người con đều là gái, do đó = {GGG} nên .
Do đó, .
Từ đó suy ra .
Cách 2:
Mỗi người con sẽ là trai hoặc gái, nên 3 người con thì số khả năng xảy ra là: 2 . 2 . 2 = 8, hay n(Ω) = 8.
a) Con đầu là con gái vậy chỉ có 1 cách chọn.
Hai người con sau không phân biệt về giới tính nên có: 2 . 2 = 4 cách chọn.
Do đó, n(A) = 1 . 4 = 4.
Vậy .
b) Biến cố B: “Có ít nhất một người con trai”.
Suy ra biến cố : “Không có người con trai nào”.
Khi không có người con trai nào, tức cả ba người con đều là gái, nên .
Do đó, .
Từ đó suy ra .
a) C: “Cả hai thẻ rút được đều mang số lẻ”;
b) D: “Cả hai thẻ rút được đều mang số chẵn”.
Lời giải:
Phép thử là chọn ngẫu nhiên 2 tấm thẻ từ hộp.
Các tấm thẻ đánh số 10; 11; ....; 20, nghĩa là có 20 – 10 + 1 = 11 (tấm thẻ).
Không gian mẫu là tập tất cả các tập con gồm 2 tấm thẻ trong 11 tấm thẻ.
Do đó, n(Ω) = .
a) Cả hai thẻ được rút ra đều mang số lẻ, nên 2 thẻ rút ra thuộc tập {11; 13; 15; 17; 19}.
Do đó n(C) = .
Vậy .
b) Cả hai thẻ được rút ra đều mang số chẵn, nên 2 thẻ rút ra thuộc tập {10; 12; 14; 16; 18; 20}.
Do đó n(D) = .
Vậy .
Lời giải:
Tổng số viên bi trong hộp là 6 + 4 + 2 = 12 (viên bi).
Chọn 6 viên bi trong 12 viên bi thì số cách chọn là: = 924 (cách).
Do đó, n(Ω) = 924.
Gọi biến cố A: “Trong 6 viên bi đó có 3 viên bi trắng, 2 viên bi đỏ và 1 viên bi đen”.
Mỗi phần tử của A được hình thành từ ba công đoạn.
+ Công đoạn 1. Chọn 3 viên bi trắng trong 6 viên bi trắng, số cách chọn: = 20.
+ Công đoạn 2. Chọn 2 viên bi đỏ trong 4 viên bi đỏ, số cách: = 6.
+ Công đoạn 3. Chọn 1 viên bi đen trong 2 viên bi đen, số cách: = 2.
Theo quy tắc nhân, tập A có 20 . 6 . 2 = 240 (phần tử) hay n(A) = 240.
Vậy .
Bài 9.9 trang 86 Toán 10 Tập 2: Gieo liên tiếp một con xúc xắc cân đối và một đồng xu cân đối.
a) Vẽ sơ đồ hình cây mô tả các phần tử của không gian mẫu.
b) Tính xác suất của các biến cố sau:
F: “Đồng xu xuất hiện mặt ngửa”;
G: “Đồng xu xuất hiện mặt sấp hoặc số chấm xuất hiện trên con xúc xắc là 5”.
Lời giải:
a) Đồng xu và con xúc xắc cân đối nên các kết quả xảy ra có thể đồng khả năng.
Gieo một con xúc xắc, các kết quả có thể xảy ra là 1, 2, 3, 4, 5, 6 chấm.
Gieo một đồng xu, các kết quả có thể xảy ra là xuất hiện mặt sấp hoặc mặt ngửa.
Kí hiệu S là mặt sấp, N là mặt ngửa.
Sơ đồ hình cây mô tả các phần tử của không gian mẫu là:
Các kết quả có thể là: S1; S2; S3; S4; S5; S6; N1; N2; N3; N4; N5; N6.
Do đó, Ω = {S1; S2; S3; S4; S5; S6; N1; N2; N3; N4; N5; N6}.
Vậy n(Ω) = 12.
b)
+ Biến cố F: “Đồng xu xuất hiện mặt ngửa”.
Các kết quả thuận lợi cho biến cố F là: N1; N2; N3; N4; N5; N6.
Do đó, F = {N1; N2; N3; N4; N5; N6}.
⇒ n(F) = 6.
Vậy .
+ Biến cố G: “Đồng xu xuất hiện mặt sấp hoặc số chấm xuất hiện trên con xúc xắc là 5”.
Các kết quả thuận lợi cho biến cố G là: S1; S2; S3; S4; S5; S6; N5.
Do đó, G = {S1; S2; S3; S4; S5; S6; N5}.
⇒ n(G) = 7.
Vậy .
a) Vẽ sơ đồ hình cây mô tả các phần tử của không gian mẫu.
b) Tính xác suất của biến cố “Hai bạn vào quán X, bạn còn lại vào quán Y”.
Lời giải:
a) Theo bài ra ta vẽ được sơ đồ hình cây mô tả các phần tử của không gian mẫu như sau:
Các kết quả có thể là: XXX; XXY; XYX; XYY; YXX; YXY; YYX; YYY.
Do đó, Ω = {XXX; XXY; XYX; XYY; YXX; YXY; YYX; YYY}.
Vậy n(Ω) = 8.
b) Gọi biến cố A: “Hai bạn vào quán X, bạn còn lại vào quán Y”.
Các kết quả thuận lợi cho biến cố A: XXY; XYX; YXX.
Do đó A = {XXY; XYX; YXX}.
⇒ n(A) = 3.
Vậy .
Lời giải:
Hai con xúc xắc cân đối nên các kết quả xảy ra có thể đồng khả năng.
Gieo một con xúc xắc, các kết quả có thể xảy ra là 1, 2, 3, 4, 5, 6 chấm.
Vì gieo lần lượt hai con xúc xắc cân đối, nên theo quy tắc nhân, số phần tử của không gian mẫu là: n(Ω) = 6 . 6 = 36.
Gọi biến cố A: “Ít nhất một con xúc xắc xuất hiện mặt 6 chấm”.
Để ít nhất một con xúc xắc xuất hiện mặt 6 chấm thì có các khả năng là:
+ Trường hợp 1: một con 6 chấm, một con không phải 6 chấm, số khả năng: 1 . 5 . 2 = 10.
(Do gieo lần lượt nên các kết quả: 61; 62; 63; 64; 65; 16; 26; 36; 46; 56).
+ Trường hợp 2: cả hai con 6 chấm, số khả năng: 1.
Vì các trường hợp là rời nhau, nên theo quy tắc cộng, ta có: n(A) = 10 + 1 = 11.
Vậy .
Lời giải:
Phép thử là cho lai hai loại đậu Hà Lan, trong đó cả cây bố và cây mẹ đều có kiểu gene là (Aa, Bb) và kiểu hình là hạt màu vàng và trơn.
Không gian mẫu được mô tả trong bảng sau:
|
AB |
Ab |
aB |
ab |
AB |
AABB |
AABb |
AaBB |
AaBb |
Ab |
AABb |
AAbb |
AaBb |
Aabb |
aB |
AaBB |
AaBb |
aaBB |
aaBb |
ab |
AaBb |
Aabb |
aaBb |
aabb |
Vậy n(Ω) = 16.
Gọi biến cố A: “cây con cũng có kiểu hình là hạt màu vàng và trơn”.
Để cây con có kiểu hình là hạt màu vàng và trơn thì phải xuất hiện gene A và B.
Các kết quả thuận lợi cho biến cố A: AABB (1); AABb (2); AaBB (2); AaBb (4).
⇒ n(A) = 1 + 2 + 2 + 4 = 9.
Vậy .
Xem thêm lời giải bài tập SGK Toán lớp 10 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:
Bài 26: Biến cố và định nghĩa cổ điển của xác suất
Bài tập cuối chương 9 trang 88, 89
Một số nội dung cho hoạt động trải nghiệm hình học