Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có tất cả các cạnh bằng nhau và góc A'AD bằng 120°. Tính góc

Bài 7.2 trang 26 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có tất cả các cạnh bằng nhau và góc A'AD bằng 120°. Tính góc giữa các cặp đường thẳng sau: A'C' và BD; AD và BB'; A'D và BB'.

Trả lời

Vì hình hộp ABCD.A'B'C'D' có tất cả các cạnh bằng nhau nên ABCD là hình thoi, suy ra AC $\perp$ BD.

Mà A'C' // AC nên (A'C', BD) = (AC, BD) = 90°.

Vậy góc giữa hai đường thẳng A'C' và BD bằng 90°.

Vì BB' // AA' nên (AD, BB') = (AD, AA') = 180^o - $\widehat{A\text{'}AD}$ = 180^o - 120^o = 60^o.

Vậy góc giữa hai đường thẳng AD và BB' bằng 60°.

Vì BB' // AA' nên (A'D, BB') = (A'D, AA') = $\widehat{A\text{'}AD}$ .

Vì hình hộp ABCD.A'B'C'D' có tất cả các cạnh bằng nhau nên ADD'A' là hình thoi, suy ra A'D là đường phân giác của góc AA'D'.

Xét hình thoi ADD'A' có $\widehat{A\text{'}AD}$ = 120^o nên $\widehat{AA\text{'}D\text{'}}$ = 180^o - 120^o = 60^o.

Mà A'D là đường phân giác của góc AA'D' nên $\widehat{A\text{'}AD}$ = $\frac{{60}^o}{2}$ = 30^o.

Vậy góc giữa hai đường thẳng A'D và BB' bằng 30°.

Xem thêm các bài giải SBT Toán lớp 11 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác: