Giải SBT Toán lớp 11 Bài 1: Giá trị lượng giác của góc lượng giác
Bài 1.1 trang 7 SBT Toán 11 Tập 1: Hoàn thành bảng sau:
Số đo độ |
20° |
? |
150° |
500° |
? |
? |
Số đo rađian |
? |
? |
? |
Lời giải:
Ta có: ; ; ;
; ; .
Khi đó ta có
Số đo độ |
20° |
990° |
150° |
500° |
– 150° |
84° |
Số đo rađian |
a) ; b) ;
c) 270°; d) – 415°.
Lời giải:
a) Điểm Q trên đường tròn lượng giác biểu diễn góc lượng giác có số đo là được xác định như hình dưới đây.
b) Điểm Q trên đường tròn lượng giác biểu diễn góc lượng giác có số đo là được xác định như hình dưới đây.
c) Điểm Q trên đường tròn lượng giác biểu diễn góc lượng giác có số đo là 270° được xác định như hình dưới đây.
d) Điểm Q trên đường tròn lượng giác biểu diễn góc lượng giác có số đo là – 415° được xác định như hình dưới đây.
a) ; b) 36°.
Lời giải:
a) Ta có l = Rα = 20 . (m).
b) Ta có l = R . (m).
Lời giải:
Từ đẳng thức sin2 x + cos2 x = 1, suy ra
sin2 x = 1 – cos2 x =
Mặt khác 90° < x < 180° nên sinx > 0. Do đó sin x = .
Suy ra tan x = , cot x = .
Bài 1.5 trang 7 SBT Toán 11 Tập 1: Cho sin a + cos a = m. Hãy tính theo m.
a) sin a cos a;
b) sin3 a + cos3 a;
c) sin4 a + cos4 a.
Lời giải:
a) Ta có: sin a + cos a = m nên (sin a + cos a)2 = m2
hay sin2 a + cos2 a + 2sin a cos a = m2 hay 1 + 2sin a cos a = m2.
Từ đó suy ra sin a cos a = .
b) sin3 a + cos3 a = (sin a + cos a)3 – 3sin a cos a(sin a + cos a)
= m3 – 3m .
c) sin4 a + cos4 a = (sin2 a + cos2 a)2 – 2sin2 a cos2 a
= 1 – 2(sin a cos a)2 = .
Bài 1.6 trang 7 SBT Toán 11 Tập 1: Chứng minh các đẳng thức sau:
a) cos4 x – sin4 x = 2 cos2 x – 1;
b) tan2 x – sin2 x = tan2 x . sin2 x;
c) (sin x + cos x)2 + (sin x – cos x)2 = 2.
Lời giải:
a) Ta có VT = cos4 x – sin4 x
= (cos2 x – sin2 x)(cos2 x + sin2 x)
= cos2 x – sin2 x
= cos2 x – (1 – cos2 x) = 2 cos2 x – 1 = VP.
b) Ta có
VT = tan2 x – sin2 x =
= tan2 x . sin² x = VP.
c) Ta có
VT = (sin x + cos x)2 + (sin x – cos x)²
= sin2 x + 2sin x cos x + cos2 x + sin2 x – 2sin x cos x + cos2 x
= 2 sin2 x + 2 cos2 x = 2(sin2 x + cos2 x) = 2 . 1 = 2 = VP.
Bài 1.7 trang 9 SBT Toán 11 Tập 1: Rút gọn biểu thức
A = 2cos4 x – sin4 x + sin2 x cos2 x + 3 sin2 x.
Lời giải:
A = 2cos4 x – sin4 x + sin2 x cos2 x + 3 sin2 x
= cos4 x – sin4 x + cos4 x + sin2 x cos2 x + 3 sin2 x
= (cos2 x – sin2 x)(cos2 x + sin2 x) + cos2 x (cos2 x + sin2 x) + 3sin2 x
= cos2 x – sin2 x + cos2 x + 3 sin2 x
= 2cos2 x + 2 sin2 x
= 2(cos2 x + sin2 x)
= 2 . 1 = 2.
Bài 1.8 trang 9 SBT Toán 11 Tập 1: Bánh xe của người đi xe đạp quay được 12 vòng trong 6 giây.
a) Tính góc (theo độ và rađian) mà bánh xe quay được trong 1 giây.
b) Tính quãng đường mà người đi xe đạp đã đi được trong 1 phút, biết rằng đường kính bánh xe đạp là 860 mm.
Lời giải:
a) Trong 1 giây, bánh xe quay được = 2 vòng, tức là quay được một góc 4π (rad) hay 720°.
b) Bán kính xe đạp là: 860 : 2 = 430 (mm).
Trong 1 phút, quãng đường mà người đi xe đã đi được là:
l = 430 . 4π . 60 = 103 200π (mm).
Lời giải:
Một giờ, kim phút quét được một góc lượng giác 2π; kim giờ quét được một góc .
Hiệu vận tốc giữa kim phút và kim giờ là .
Vào lúc 4 giờ hai kim tạo với nhau một góc là .
Khoảng thời gian ít nhất để hai kim vuông góc với nhau là
(giờ).
Vậy sau (giờ) hai kim sẽ vuông góc với nhau.
Tổng quãng đường hai đầu mút kim đi được là
l = R .α = (cm).
Xem thêm các bài giải SBT Toán lớp 11 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác: