Giải SBT Toán 11 (Chân trời sáng tạo) Bài tập cuối chương 7

Sách bài tập Toán 11 Bài tập cuối chương 7

A. TRẮC NGHIỆM

Câu 1 trang 44 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hàm số y = x³ + 3x² ‒ 2. Tiếp tuyến với đồ thị của hàm số tại điểm M(‒1; ‒6) có hệ số góc bằng:

A. 18.

B. ‒3.

C. 7.

D. 9.

Lời giải:

Đáp án đúng là: B

Ta có $y^{\text{'}}=3x^2+6x$.

Tiếp tuyến với đồ thị của hàm số tại điểm M(‒1; ‒6) có hệ số góc bằng $y^{\text{'}}\left(-1\right)=-3$.

Câu 2 trang 44 SBT Toán 11 Tập 2: Hàm số y = x³ ‒ 3x + 1 có đạo hàm tại x = ‒1 bằng

A. 0.

B. 6.

C. ‒6.

D. ‒1.

Lời giải:

Đáp án đúng là: A

Ta có $y^{\text{'}}=3x^2-3$.

$y^{\text{'}}\left(-1\right)=0$.

Câu 3 trang 44 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hai hàm số f(x) = 3x³ ‒ 3x² + 6x ‒ 1 và g(x) = x³ + x² ‒ 2. Bất phương trình $f^{\text{'}\text{'}}\left(x\right)-f^{\text{'}}\left(x\right)+g^{\text{'}}\left(x\right)-8\ge 0$ có tập nghiệm là

A. $\left(1;\frac{10}{3}\right)$.

D. $\left(-\infty ;1\right)\cup \left(\frac{10}{3};+\infty \right)$.

Lời giải:

Đáp án đúng là: C

Ta có:

• $f^{\text{'}}\left(x\right)=9x^2-6x+6$

• $f^{\text{'}\text{'}}\left(x\right)=18x-6$

• $g^{\text{'}}\left(x\right)=3x^2+2x$

Từ đó $f^{\text{'}\text{'}}\left(x\right)-f^{\text{'}}\left(x\right)+g^{\text{'}}\left(x\right)-8\ge 0$

$\begin{array}{c}\iff 18x-6-\left(9x^2-6x+6\right)+3x^2+2x-8\ge 0\\ \iff -6x^2+26x-20\ge 0\\ \iff 1\le x\le \frac{10}{3}\end{array}$

Vậy bất phương trình $f^{\text{'}\text{'}}\left(x\right)-f^{\text{'}}\left(x\right)+g^{\text{'}}\left(x\right)-8\ge 0$ có tập nghiệm là .

Câu 4 trang 44 SBT Toán 11 Tập 2: Hàm số $y=\frac{2x-1}{3x+2}$ có đạo hàm là

A. $y^{\text{'}}=-\frac{1}{{\left(3x+2\right)}^2}$.

B. $y^{\text{'}}=-\frac{7}{{\left(3x+2\right)}^2}$.

C. $y^{\text{'}}=\frac{1}{{\left(3x+2\right)}^2}$.

D. $y^{\text{'}}=\frac{7}{{\left(3x+2\right)}^2}$.

Lời giải:

Đáp án đúng là: D

$y^{\text{'}}=\frac{{\left(2x-1\right)}^{\text{'}}\left(3x+2\right)-\left(2x-1\right){\left(3x+2\right)}^{\text{'}}}{{\left(3x+2\right)}^2}=\frac{7}{{\left(3x+2\right)}^2}$.

Câu 5 trang 44 SBT Toán 11 Tập 2: Hàm số $y=\frac{x-1}{x+1}$ có đạo hàm cấp hai tại x = 1 là

A. $y^{\text{'}\text{'}}\left(1\right)=\frac{1}{4}$.

B. $y^{\text{'}\text{'}}\left(1\right)=-\frac{1}{4}$.

C. $y^{\text{'}\text{'}}\left(1\right)=\frac{1}{2}$.

D. $y^{\text{'}\text{'}}\left(1\right)=-\frac{1}{2}$.

Lời giải:

Đáp án đúng là: D

Ta có

$y^{\text{'}}=\frac{{\left(x-1\right)}^{\text{'}}\left(x+1\right)-\left(x-1\right){\left(x+1\right)}^{\text{'}}}{{\left(x+1\right)}^2}=\frac{2}{{\left(x+1\right)}^2}$

Vậy $y^{\text{'}\text{'}}\left(1\right)=-\frac{4}{{\left(1+1\right)}^3}=-\frac{1}{2}$ha

Câu 6 trang 44 SBT Toán 11 Tập 2: Hàm số $y=3^{x^2+1}$ có đạo hàm là

A. $\left(x^2+1\right)3x^{x^2}$.

B. $\left(x^2+1\right)3^{x^2+1}\ln 3$.

C. $2x{3}^{x^2+1}\ln 3$.

D. $3^{x^2+1}$.

Lời giải:

Đáp án đúng là: C

Ta có $y^{\text{'}}=3^{x^2+1}\ln 3.2x=2x{3}^{x^2+1}\ln 3$.

Câu 7 trang 45 SBT Toán 11 Tập 2: Hàm số y = ln (cos x) có đạo hàm là.

A. $\frac{1}{\cos x}$.

B. ‒tan x.

C. tan x.

D. cot x.

Lời giải:

Đáp án đúng là: B

$y^{\text{'}}=\frac{-\sin x}{\cos x}=-\tan x$.

Câu 8 trang 45 SBT Toán 11 Tập 2: Hàm số $f\left(x\right)=e^{\sqrt{x^2+4}}$ có đạo hàm tại x = 1 bằng.

A. $f^{\text{'}}\left(1\right)=e^{\sqrt{5}}$.

B. $f^{\text{'}}\left(1\right)=2e^{\sqrt{5}}$.

C. $f^{\text{'}}\left(1\right)=\frac{e^{\sqrt{5}}}{\sqrt{5}}$.

D. $f^{\text{'}}\left(1\right)=\frac{e^{\sqrt{5}}}{2\sqrt{5}}$.

Lời giải:

Đáp án đúng là: C

Ta có $f^{\text{'}}\left(x\right)=e^{\sqrt{x^2+4}}.\frac{2x}{2\sqrt{x^2+4}}=\frac{x{e}^{\sqrt{x^2+4}}}{\sqrt{x^2+4}}$.

Vậy $f^{\text{'}}\left(1\right)=\frac{e^{\sqrt{1^2+4}}}{\sqrt{1^2+4}}=\frac{e^{\sqrt{5}}}{\sqrt{5}}$.

B. TỰ LUẬN

Bài 1 trang 45 SBT Toán 11 Tập 2: Dùng định nghĩa để tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) $f\left(x\right)=\sqrt{4x+1}$ tại x = 2;

b) $f\left(x\right)=x^4$ tại x = ‒1;

c) $f\left(x\right)=\frac{1}{x+1}$;

d) $f\left(x\right)=\sqrt[3]{x^2+1}$

Lời giải:

a) Với $x_0\ge -\frac{1}{4}$, ta có:

$y^{\text{'}}\left(x_0\right)=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f\left(x\right)-f\left(x_0\right)}{x-x_0}=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{\sqrt{4x+1}-\sqrt{4x_0+1}}{x-x_0}$

$=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{4\left(\sqrt{4x+1}-\sqrt{4x_0+1}\right)}{\left(4x+1\right)-\left(4x_0+1\right)}$

$=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{4\left(\sqrt{4x+1}-\sqrt{4x_0+1}\right)}{\left(\sqrt{4x+1}-\sqrt{4x_0+1}\right)\left(\sqrt{4x+1}+\sqrt{4x_0+1}\right)}$

$=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{4}{\left(\sqrt{4x+1}+\sqrt{4x_0+1}\right)}$

$=\frac{4}{2\sqrt{4x_0+1}}$.

Vậy $y^{\text{'}}\left(2\right)=\frac{4}{2\sqrt{4.2+1}}=\frac{2}{3}$.

b) Với $x_0\in$ ℝ, ta có:

$y^{\text{'}}\left(x_0\right)=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f\left(x\right)-f\left(x_0\right)}{x-x_0}=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{x^4-{x_0}^4}{x-x_0}$

$=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{x^4-{x_0}^4}{x-x_0}=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{\left(x^2-{x_0}^2\right)\left(x^2+{x_0}^2\right)}{x-x_0}$

$=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{\left(x-x_0\right)\left(x+x_0\right)\left(x^2+{x_0}^2\right)}{x-x_0}$

$=\underset{x\to x_0}{\lim }\left(x+x_0\right)\left(x^2+{x_0}^2\right)=2x_0.2{x_0}^2=4{x_0}^3$

Vậy $y^{\text{'}}(-1)=4.{(-1)}^3=-4$.

c) Với $x_0\ne -1$, ta có:

$y^{\text{'}}\left(x_0\right)=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f\left(x\right)-f\left(x_0\right)}{x-x_0}=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x_0+1}}{x-x_0}$

$=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x_0+1}}{x-x_0}=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{\left(x_0+1\right)-\left(x+1\right)}{\left(x-x_0\right)\left(x+1\right)\left(x_0+1\right)}$

$=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{x_0-x}{\left(x-x_0\right)\left(x+1\right)\left(x_0+1\right)}=\underset{x\to x_0}{\lim }-\frac{1}{\left(x+1\right)\left(x_0+1\right)}$

$=-\frac{1}{{\left(x_0+1\right)}^2}$.

Vậy $y^{\text{'}}\left(x\right)=-\frac{1}{{\left(x+1\right)}^2}\left(x\ne -1\right).$

d) Với $x_0\in$ ℝ, ta có:

$y^{\text{'}}\left(x_0\right)=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f\left(x\right)-f\left(x_0\right)}{x-x_0}=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{\sqrt[3]{x^2+1}-\sqrt[3]{x_0^2+1}}{x-x_0}$

$=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{\left(x+x_0\right)\left(\sqrt[3]{x^2+1}-\sqrt[3]{x_0^2+1}\right)}{\left(x-x_0\right)\left(x+x_0\right)}$

$=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{\left(x+x_0\right)\left(\sqrt[3]{x^2+1}-\sqrt[3]{x_0^2+1}\right)}{x^2-x_0^2}$$=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{\left(x+x_0\right)\left(\sqrt[3]{x^2+1}-\sqrt[3]{x_0^2+1}\right)}{\left(x^2+1\right)-\left(x_0^2+1\right)}$

$=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{\left(x+x_0\right)\left(\sqrt[3]{x^2+1}-\sqrt[3]{x_0^2+1}\right)}{\left(\sqrt[3]{x^2+1}-\sqrt[3]{x_0^2+1}\right)\left(\sqrt[3]{{\left(x^2+1\right)}^2}+\sqrt[3]{x^2+1}\sqrt[3]{x_0^2+1}+\sqrt[3]{{\left(x_0^2+1\right)}^2}\right)}$

$=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{x+x_0}{\sqrt[3]{{\left(x^2+1\right)}^2}+\sqrt[3]{x^2+1}\sqrt[3]{x_0^2+1}+\sqrt[3]{{\left(x_0^2+1\right)}^2}}$$=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{2x_0}{3\sqrt[3]{{\left(x_0^2+1\right)}^2}}$.

Vậy $y^{\text{'}}\left(x\right)=\frac{2x}{3\sqrt[3]{{\left(x^2+1\right)}^2}}$ ($x\in$ ℝ).

Bài 2 trang 45 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hàm số f(x) = 2x³ – x² + 2x +1 có đồ thị (C). Tìm tiếp tuyến với (C) có hệ số góc nhỏ nhất.

Lời giải:

Gọi tiếp tuyến là d và tiếp điểm M(x₀,f(x₀)).

Ta có $f^{\text{'}}\left(x\right)=6x^2–2x+2=6{\left(x-\frac{1}{6}\right)}^2+\frac{11}{6}\ge \frac{11}{6}$.

Vậy hệ số góc của d nhỏ nhất bằng $\frac{11}{6}$ khi $x_0=\frac{1}{6}$.

Phương trình đường tiếp tuyến d:

$y-f\left(\frac{1}{6}\right)=f^{\text{'}}\left(\frac{1}{6}\right)\left(x-\frac{1}{6}\right)$

$\iff y-\frac{71}{54}=\frac{11}{6}\left(x-\frac{1}{6}\right)$

$\iff y=\frac{11}{6}x+\frac{109}{108}$

Vậy tiếp tuyến với (C) có hệ số góc nhỏ nhất là d: $y=\frac{11}{6}x+\frac{109}{108}$.

Bài 3 trang 45 SBT Toán 11 Tập 2: Vị trí chuyển động của một vật trên đường thẳng được biểu diễn bởi công thức $s\left(t\right)=3t^3+5t+2$, trong đó t là thời gian tính bằng giây và s tính bằng mét. Tính vận tốc và gia tốc của vật đó khi t = 1.

Lời giải:

Ta có $s^{\text{'}}\left(t\right)=9t^2+5$ nên ${s^{\text{'}}}^{\text{'}}\left(t\right)=18t$.

$s^{\text{'}}\left(1\right)={9.1}^2+5=14$ (m/s)

$s^{\text{'}\text{'}}\left(1\right)=18.1=18$ (m/s²)

Vậy khi t = 1, vận tốc và gia tốc của vật đó lần lượt bằng 14 m/s và 18 m/s².

Bài 4 trang 45 SBT Toán 11 Tập 2: Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) $y=\sqrt{x}\left(x^2-\sqrt{x}+1\right)$;

b) $y=\frac{1}{x^2-3x+1}$;

c) $y=\frac{2x+3}{3x+2}$.

Lời giải:

a) $y^{\text{'}}={\left(\sqrt{x}\right)}^{\text{'}}\left(x^2-\sqrt{x}+1\right)+\sqrt{x}{\left(x^2-\sqrt{x}+1\right)}^{\text{'}}$

$=\frac{\left(x^2-\sqrt{x}+1\right)}{2\sqrt{x}}+\sqrt{x}\left(2x-\frac{1}{2\sqrt{x}}\right)$

$=\frac{x\sqrt{x}}{2}-\frac{1}{2}+\frac{1}{2\sqrt{x}}+2x\sqrt{x}-\frac{1}{2}$

$=\frac{5}{2}x\sqrt{x}+\frac{1}{2\sqrt{x}}-1$.

b) $y^{\text{'}}=\frac{{\left(x^2-3x+1\right)}^{\text{'}}}{{\left(x^2-3x+1\right)}^2}$

$=\frac{2x-3}{{\left(x^2-3x+1\right)}^2}$.

c) $y^{\text{'}}=\frac{{\left(2x+3\right)}^{\text{'}}\left(3x+2\right)-\left(2x+3\right){\left(3x+2\right)}^{\text{'}}}{{\left(3x+2\right)}^2}$

$=\frac{2\left(3x+2\right)+\left(2x+3\right)3}{{\left(3x+2\right)}^2}=-\frac{5}{{\left(3x+2\right)}^2}$.

Bài 5 trang 45 SBT Toán 11 Tập 2: Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) $y=\frac{x\sin x}{1-\tan x}$;

b) $y=\cos \sqrt{x^2-x+1}$;

c) y = sin²3x;

d) y = cos²(cos3x).

Lời giải:

a) $y^{\text{'}}=\frac{\left(x\sin x\right)\text{'}\left(1-\tan x\right)+\left(x\sin x\right){\left(1-\tan x\right)}^{\text{'}}}{{\left(1-\tan x\right)}^2}$

$=\frac{\left(\sin x+x\cos x\right)\left(1-\tan x\right)+\left(x\sin x\right)\left(-\frac{1}{{\cos }^{2}x}\right)}{{\left(1-\tan x\right)}^2}$

$=\frac{\sin x+x\cos x-\sin x\tan x-x\sin x+\frac{x\sin x}{{\cos }^{2}x}}{{\left(1-\tan x\right)}^2}$

$=\frac{\sin x+x\cos x-\sin x\tan x+x\sin x\left(-1+\frac{1}{{\cos }^{2}x}\right)}{{\left(1-\tan x\right)}^2}$

$=\frac{\sin x+x\cos x-\sin x\tan x+x\sin x\frac{1-{\cos }^{2}x}{{\cos }^{2}x}}{{\left(1-\tan x\right)}^2}$

$=\frac{\sin x+x\cos x-\sin x\tan x+x\sin x\frac{{\sin }^{2}x}{{\cos }^{2}x}}{{\left(1-\tan x\right)}^2}$

$=\frac{\sin x+x\cos x-\sin x\tan x+x\sin x{\tan }^{2}x}{{\left(1-\tan x\right)}^2}.$

b) $y^{\text{'}}=-\sin \sqrt{x^2-x+1}.{\left(\sqrt{x^2-x+1}\right)}^{\text{'}}$

$=-\sin \sqrt{x^2-x+1}.\frac{1}{2\sqrt{x^2-x+1}}.{\left(x^2-x+1\right)}^{\text{'}}$

$=-\frac{\sin \sqrt{x^2-x+1}}{2\sqrt{x^2-x+1}}.\left(2x-1\right)$

$=-\frac{\left(2x-1\right)\sin \sqrt{x^2-x+1}}{2\sqrt{x^2-x+1}}$.

c) $y^{\text{'}}=2sin3x.{\left(\sin 3x\right)}^{\text{'}}=2sin3x.\cos 3x.3$

$=3\sin 6x$.

d) $y=co{s}^2\left(cos3x\right)=2\cos \left(\cos 3x\right).{\left(\cos \left(\cos 3x\right)\right)}^{\text{'}}$

$=2\cos \left(\cos 3x\right).\left(-\sin \left(\cos 3x\right)\right).{\left(\cos 3x\right)}^{\text{'}}$

$=-2\cos \left(\cos 3x\right).\sin \left(\cos 3x\right).\left(-\sin 3x\right).3$

$=3\sin 3x\sin \left(2\cos 3x\right)$.

Bài 6 trang 45 SBT Toán 11 Tập 2: Tính đạo hàm của các hàm số sau biết rằng f và g là các hàm số có đạo hàm trên ℝ:

a) y = f(x³);

b) $y=\sqrt{f^2\left(x\right)+g^2\left(x\right)}$.

Lời giải:

a) $y^{\text{'}}=f^{\text{'}}\left(x^3\right).{\left(x^3\right)}^{\text{'}}=3x^2{f}^{\text{'}}\left(x^3\right)$.

b) $y^{\text{'}}=\frac{1}{2\sqrt{f^2\left(x\right)+g^2\left(x\right)}}.{\left(f^2\left(x\right)+g^2\left(x\right)\right)}^{\text{'}}$

$=\frac{\left(2f\left(x\right)f^{\text{'}}\left(x\right)+2g\left(x\right)g^{\text{'}}\left(x\right)\right)}{2\sqrt{f^2\left(x\right)+g^2\left(x\right)}}$

$=\frac{f\left(x\right)f^{\text{'}}\left(x\right)+g\left(x\right)g^{\text{'}}\left(x\right)}{\sqrt{f^2\left(x\right)+g^2\left(x\right)}}$.

Bài 7 trang 45 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hàm số $f\left(x\right)=x^3+2x^2-mx-5$. Tìm m để

a) $f^{\text{'}}\left(x\right)=0$ có nghiệm kép.

b) $f^{\text{'}}\left(x\right)\ge 0$ với mọi x.

Lời giải:

Ta có $f^{\text{'}}\left(x\right)=3x^2+4x-m$

$\Delta =\frac{4^2-\mathrm{4.3.}\left(-m\right)}{2.4}=\frac{16+12m}{8}=\frac{4+3m}{2}$.

a) $f^{\text{'}}\left(x\right)=0$ có nghiệm kép khi $\Delta =\frac{4+3m}{2}=0$ hay $m=-\frac{4}{3}$.

b) $f^{\text{'}}\left(x\right)\ge 0$ với mọi x khi $\Delta =\frac{4+3m}{2}\ge 0$ hay $m\le -\frac{4}{3}$.

Bài 8 trang 45 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hàm số $f\left(x\right)=\sqrt{x^2-2x+8}$. Giải phương trình $f^{\text{'}}\left(x\right)=-\frac{2}{3}$.

Lời giải:

Ta có $f^{\text{'}}\left(x\right)=\frac{1}{2\sqrt{x^2-2x+8}}.{\left(x^2-2x+8\right)}^{\text{'}}$

$=\frac{2x-2}{2\sqrt{x^2-2x+8}}=\frac{x-1}{\sqrt{x^2-2x+8}}$.

$f^{\text{'}}\left(x\right)=-\frac{2}{3}\iff \frac{x-1}{\sqrt{x^2-2x+8}}=-\frac{2}{3}$

$\iff 2\sqrt{x^2-2x+8}=-3\left(x-1\right)\left(x<1\right)$

$\iff 4\left(x^2-2x+8\right)=9{\left(x-1\right)}^2$

$\iff 4\left(x^2-2x+8\right)=9\left(x^2-2x+1\right)$

$\iff 5x^2-10x-23=0$

$\iff x=\frac{5+2\sqrt{35}}{5}$ (loại); $x=\frac{5-2\sqrt{35}}{5}$ (nhận).

Vậy $x=\frac{5-2\sqrt{35}}{5}$.

Bài 9 trang 45 SBT Toán 11 Tập 2: Tính đạo hàm cấp hai của các hàm số sau:

a) $y=\frac{x-1}{x+2}$;

b) $y=\sqrt{3x+2}$;

Lời giải:

a) $y^{\text{'}}=\frac{\left(x+2\right)-\left(x-1\right)}{{\left(x+2\right)}^2}=\frac{3}{{\left(x+2\right)}^2}$.

$y^{\text{'}\text{'}}=\frac{3.\left(-2\right)}{{\left(x+2\right)}^3}=-\frac{6}{{\left(x+2\right)}^3}$.

b) $y=\sqrt{3x+2}=\frac{{\left(3x+2\right)}^{\text{'}}}{2\sqrt{3x+2}}=\frac{3}{2\sqrt{3x+2}}$.

$y^{\text{'}\text{'}}=\frac{3.\left(-\frac{1}{2}\right).{\left(3x+2\right)}^{\text{'}}}{2\sqrt{{\left(3x+2\right)}^3}}=-\frac{3.3}{4\sqrt{{\left(3x+2\right)}^3}}$

$=-\frac{9}{4\sqrt{{\left(3x+2\right)}^3}}$.

c) $y^{\text{'}}=x{e}^{2x}=e^{2x}+x{\left(e^{2x}\right)}^{\text{'}}=e^{2x}+x.e^{2x}.2=\left(2x+1\right)e^{2x}$.

$y^{\text{'}\text{'}}={\left(2x+1\right)}^{\text{'}}{e}^{2x}+\left(2x+1\right){\left(e^{2x}\right)}^{\text{'}}=2e^{2x}+\left(2x+1\right)e^{2x}.2$

$=2e^{2x}+\left(4x+2\right)e^{2x}=4\left(x+1\right)e^{2x}$.

Xem thêm các bài giải SBT Toán lớp 11 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác: