Giải SBT Toán 11 (Chân trời sáng tạo) Bài 1: Hai đường thẳng vuông góc

Sách bài tập Toán 11 Bài 1: Hai đường thẳng vuông góc

Bài 1 trang 50 SBT Toán 11 Tập 2: Cho tứ diện đều ABCD, M là trung điểm của cạnh BC. Tính góc giữa AB và DM.

Lời giải:

Cho N là trung điểm của cạnh AC.

$\Rightarrow$ MN là đường trung trực của ∆ABC.

$\Rightarrow$ MN // AB $\iff$ (AB, DM) = (MN, DM) = $\widehat{DMN}$ .

Lại có: ∆BCD và ∆ACD là các tam giác đều (theo giả thiết).

Giả sử ABCD là tứ diện đều cạnh a.

$\Rightarrow$ DM = DN = $\frac{a\sqrt{3}}{2}$ ; MN = $\frac{AB}{2}$ = $\frac{a}{2}$.

Áp dụng định lý hàm cos trong ∆DMN, ta có:

$\cos \widehat{DMN}=\frac{D{M}^2+M{N}^2-D{N}^2}{2.DM.MN}=\frac{\sqrt{3}}{6}$.

Do đó (AB, DM) = $\widehat{DMN}$ ≈ 73,22°.

Bài 2 trang 51 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hình chóp S.ABCD. có đáy là hình thoi cạnh a, SA = $a\sqrt{3}$, SA $\perp$ AC, SA $\perp$ BC, $\widehat{BAD}$= 120°. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD, BC. Tính góc giữa các cặp đường thẳng:

a) SD và BC.

b) MN và SC.

Lời giải:

a) Ta có: 

$\Rightarrow$ SA ⊥ (ABCD) $\iff$ SA ⊥ AD.

Do BC // AD nên (BC, SD) = (AD, SD).

$\tan \widehat{ADS}=\frac{SA}{AD}=\frac{a\sqrt{3}}{a}=\sqrt{3}$

Do đó $\left(BC,SD\right)=\widehat{ADS}$ = 60°.

b) Do MN // CD nên (SD, MN) = (SD, CD) = $\widehat{SCD}$ .

Áp dụng định lí Pythagore, ta có:

Áp dụng định lí hàm cos trong ∆SCD, ta có:

$\cos \widehat{SCD}=\frac{S{C}^2+C{D}^2-S{D}^2}{2.SC.CD}=\frac{{\left(2a\right)}^2+a^2-{\left(2a\right)}^2}{2.2.a.a}=\frac{1}{4}$.

Do đó (SD, MN) = ≈ 75,52°.

Bài 3 trang 51 SBT Toán 11 Tập 2: Cho tứ diện ABCD có AB = CD, AC = BD, AD = BC.

a) Chứng minh đoạn nối các trung điểm của các cặp cạnh đối thì vuông góc với hai cạnh đó.

b) Chứng minh hai đoạn nối các trung điểm của các cặp cạnh đối thì vuông góc với nhau.

Lời giải:

a) Gọi E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh AD, BC.

Xét ∆BAD và ∆CDA, ta có:

Do đó ∆BAD = ∆CDA (c.c.c)

Ta có BE = CE (2 đường trung tuyến ứng với cạnh AD).

Suy ra ∆BEC cân tại E nên EF ⊥ BC.

Chứng minh tương tự, ta có: EF ⊥ AD.

Vậy đoạn nối các trung điểm của các cặp cạnh đối thì vuông góc với hai cạnh đó.

b)Gọi G, H lần lượt là các trung điểm của 2 cạnh AB và CD.

Theo tính chất đường trung bình, ta có:

$\Rightarrow$ EH = GF = EG = HF

Khi đó, EHFG là hình thoi, suy ra EF ⊥ GH.

Vậy hai đoạn nối các trung điểm của các cặp cạnh đối thì vuông góc với nhau.

Bài 4 trang 51 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a. Gọi M, N, I, J lần lượt là trung điểm của SA, SD, SC và BC. Tính góc giữa các cặp đường thẳng sau:

a) IJ và DC;

b) MN và IJ.

Lời giải:

a) Ta có: 

$\Rightarrow (IJ,CD)=(SB,AB)=\widehat{SBA}$.

Từ giả thiết, ta có ∆SAB là tam giác đều.

$\Rightarrow (IJ,CD)=\widehat{SBA}=60°$.

b)Ta có: 

$\Rightarrow (IJ,MN)=(SB,BC)=\widehat{SBC}$.

Từ giả thiết, ta có ∆SBC là tam giác đều.

Do đó $(IJ,MN)=\widehat{SBC}=60°$ .

Bài 5 trang 51 SBT Toán 11 Tập 2: Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD. Chứng minh hai đường thẳng OA và CD vuông góc với nhau.

Lời giải:

Giả sử điểm H là chân đường vuông góc hạ từ đỉnh A xuống mặt phẳng đáy.

Xét ∆AHB, ∆AHC và ∆AHD:

$\Rightarrow$ ∆AHB, ∆AHC và ∆AHD là các tam giác bằng nhau (cạnh huyền – cạnh góc vuông).

$\Rightarrow$ BH = CH = DH $\Rightarrow$ H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD.

$\Rightarrow$ H $\equiv$ O$\iff$ AO là đường cao của tứ diện ABCD.

$\Rightarrow$ OA ⊥ CD.

Vậy hai đường thẳng OA và CD vuông góc với nhau.

Xem thêm các bài giải SBT Toán lớp 11 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác: