Sách bài tập Toán 11 Bài 1: Đạo hàm
Bài 1 trang 38 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hàm số y=3√x. Chứng minh rằng y'(x)=133√x2(x≠0).
Lời giải:
Với x0≠0, ta có:
y'(x0)=limx→x0f(x)−f(x0)x−x0=limx→x03√x−3√x0x−x0
=limx→x03√x−3√x0(3√x−3√x0)(3√x2+3√xx0+3√x02)
=limx→x013√x2+3√xx0+3√x02=133√x02.
Vậy y'(x)=133√x2(x≠0).
a) Tại điểm (−1; 1);
b) Tại giao điểm của (P) với đường thẳng y = −3x + 2.
Lời giải:
Ta có y'=2x.
a) Phương trình tiếp tuyến của (P) tại điểm (−1; 1) có hệ số góc y'(−1)=2.(−1)=−2.
b) Gọi giao điểm của (P) với đường thẳng y = −3x + 2 là M(x0; y0).
Ta có x20=−3x0+2⇔x20+3x0−2=0
⇔x0=−3+√172; x0=−3−√172.
•Với x0=−3+√172, hệ số góc của tiếp tuyến là y'(−3+√172)=−3+√17.
•Với x0=−3−√172, hệ số góc của tiếp tuyến là y'(−3−√172)=−3−√17.
Lời giải:
a) Ta có
• limx→2+f(x)=limx→2+1x+1=12+1=13;
• limx→2−f(x)=limx→2−(x2−x+2)=22−2+2=4.
Vì limx→2+f(x)=13≠4=limx→2−f(x) nên f(x) gián đoạn tại 2, do đó f(x) không có đạo hàm tại 2.
b) Ta có
• limx→1+f(x)=limx→1+(2x+1)=21+1=3;
• limx→1−f(x)=limx→1−(x2+2)=12+2=3.
Vì limx→1+f(x)=3=limx→1−f(x) nên f(x) liên tục tại 1.
Ta lại có
• limx→1−f(x)−f(1)x−1=limx→1−x2+2x−3x−1
=limx→1−(x−1)(x+3)x−1=limx→1−(x+3)=1+3=4.
• limx→1+f(x)−f(1)x−1=limx→1+2x+1−3x−1
=limx→1+2x−2x−1=limx→1+2−2xx(x−1)
=limx→1+−2x=−21=−2.
Vì limx→1−f(x)−f(1)x−1≠limx→1+f(x)−f(1)x−1 nên không tồn tại limx→1f(x)−f(1)x−1.
Vậy f(x) không có đạo hàm tại x = 1.
a) Song song với đường thẳng y = −x + 2;
b) Vuông góc với đường thẳng y=−14x−4;
c) Đi qua điểm A(0; 1).
Lời giải:
Ta có y'=(x3−2x2+1)'=3x2−2.2x=3x2−4x.
a) Gọi d1 là tiếp tuyến cần tìm của (C) và M0(x0; y0) là tiếp điểm của (C) và d1.
Vì d1 song song với đường thẳng y = −x + 2 nên y'(x0)=−1.
Suy ra 3x20−4x0=−1⇔3x20−4x0+1=0⇔x0=1 hoặc x0=13.
− Với x0=1, phương trình tiếp tuyến tại điểm M0(1;0) có hệ số góc y'(1)=−1 là:
y−y0=y'(x0)(x−x0)
⇔y−0=−1(x−1)⇔y=−x+1.
− Với x0=13, phương trình tiếp tuyến tại điểm M0(13;2227) có hệ số góc y'(13)=−1 là:
y−y(13)=y'(13)(x−13)
⇔y−2227=−1(x−13)
⇔y=−x+3127
Vậy tiếp tuyến của (C) song song với đường thẳng y = −x + 2 là: và .
b) Gọi d1 là tiếp tuyến cần tìm của (C) và M0(x0; y0) là tiếp điểm của (C) và d1.
Vì d1 vuông góc với đường thẳng nên .
Suy ra hoặc .
− Với , phương trình tiếp tuyến tại điểm có hệ số góc là:
.
− Với , phương trình tiếp tuyến tại điểm có hệ số góc là:
Vậy tiếp tuyến của (C) song song với đường thẳng y = −x + 2 là: và .
c) Gọi d1 là tiếp tuyến cần tìm của (C) đi qua điểm A(0; 1) tại tiếp điểm M(x0;f(x0)).
Phương trình tiếp tuyến d1 của (C) có dạng:
Vì d1 đi qua điểm A(0; 1) nên
;
− Với , phương trình đường thẳng d1 là:
.
− Với , phương trình đường thẳng d1 là:
.
Vậy tiếp tuyến của (C) đi qua điểm A(0; 1) là: và .
Lời giải:
Ta có .
Vận tốc tức thời tại điểm t = 4 là .
Xem thêm các bài giải SBT Toán lớp 11 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác: