Giải SBT Toán 11 Bài 1: Giới hạn của dãy số
Bài 1 trang 68 SBT Toán 11 Tập 1: Phát biểu nào sau đây là sai?
A. .
B. .
C. .
D. .
Lời giải:
Đáp án đúng là: B
Vì limqn = 0 với |q| < 1 nên ta có:
do ;
do ;
do .
Vậy các đáp án A, C, D đúng.
Vì nên , do đó đáp án B sai.
Bài 2 trang 68 SBT Toán 11 Tập 1: Cho limun = a, lim vn = b. Phát biểu nào sau đây là sai?
A. lim(un + vn) = a + b.
B. lim(un – vn) = a – b.
C. lim(un . vn) = a . b.
D. .
Lời giải:
Đáp án đúng là: D
Theo định lí về giới hạn hữu hạn thì ta thấy đáp án D sai.
Bài 3 trang 68 SBT Toán 11 Tập 1: Nếu limun = C và limvn = +∞ (hoặc limvn = −∞) thì bằng:
A. 0.
B. –∞.
C. +∞.
D. –∞ hoặc +∞.
Lời giải:
Đáp án đúng là: A
Nếu limun = C và limvn = +∞ (hoặc limvn = −∞) thì .
Bài 4 trang 68 SBT Toán 11 Tập 1: Phát biểu nào sau đây là sai?
A. Nếu limun = +∞ và limvn = C, C > 0 thì lim = +∞.
B. Nếu limun = −∞ và limvn = C, C < 0 thì lim = +∞.
C. Nếu limun = +∞ và limvn = C, C < 0 thì lim = 0.
D. Nếu limun = –∞ và limvn = C, C > 0 thì .
Lời giải:
Đáp án đúng là: C
Theo định lí giữa giới hạn hữu hạn và giới hạn vô cực, nếu limun = +∞ và limvn = C, C < 0 thì lim = –∞ nên đáp án C sai.
Bài 5 trang 68 SBT Toán 11 Tập 1: Phát biểu nào sau đây là đúng?
A. Nếu limun = a thì .
B. Nếu limun = a thì a ≥ 0 và .
C. Nếu limun = a thì a ≥ 0.
D. Nếu un ≥ 0 với mọi n và limun = a thì a ≥ 0 và .
Lời giải:
Đáp án đúng là: D
Theo định lí về giới hạn hữu hạn, nếu un ≥ 0 với mọi n và limun = a thì a ≥ 0 và .
Bài 6 trang 68 SBT Toán 11 Tập 1: Chứng minh rằng .
Lời giải:
Xét dãy số (un) có .
Giả sử h là số dương bé tùy ý cho trước. Ta có:
Do đó, .
Vậy với các số tự nhiên n lớn hơn thì |un| < h.
Suy ra .
Bài 7 trang 68 SBT Toán 11 Tập 1: Cho hai dãy số (un), (vn) với , . Tính:
a) limun, limvn;
b) lim(un + vn), lim(un – vn), lim(un . vn), .
Lời giải:
a) Ta có
;
.
b) Ta có
lim(un + vn) = limun + limvn = 3 + 8 = 11;
lim(un – vn) = limun – limvn = 3 – 8 = – 5;
lim(un . vn) = limun . limvn = 3 . 8 = 24;
.
Bài 8 trang 68 SBT Toán 11 Tập 1: Tính các giới hạn sau:
a) ;
b) ;
c) ;
d) .
Lời giải:
a) Vì lim(4n + 2) = = lim (n . 4) = +∞ và lim3 = 3 > 0.
Do đó, .
b) Vì lim(3n + 4) = lim (n . 3) = +∞
và < 0.
Do đó, .
c) Vì và lim5n = +∞.
Nên .
d)
.
Bài 9 trang 69 SBT Toán 11 Tập 1: Tính các giới hạn sau:
a) ;
b) ;
c) ;
d) ;
e) ;
g) .
Lời giải:
a) .
b)
.
c)
(do và ).
d)
.
e)
.
g)
Bài 10 trang 69 SBT Toán 11 Tập 1: a) Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn (un) với .
b) Biểu diễn số thập phân vô hạn tuần hoàn 2,(3) dưới dạng phân số.
Lời giải:
a) Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn (un) với là:
.
b) Ta có 2,(3) = 2 + 0,(3) = 2 + 0,3 + 0,03 + 0,003 + ... + 0,0000003 + ...
Dãy số 0,3; 0,03; 0,003; ...lập thành một cấp số nhân lùi vô hạn có số hạng đầu u1 = 0,3 và công bội < 1. Do đó:
0,3 + 0,03 + 0,003 + ... + 0,0000003 + ... .
Vậy 2,(3) = 2 + .
a) Tìm số hạng tổng quát của dãy số (hn).
b) Tính giới hạn của dãy số (hn) và nêu ý nghĩa giới hạn của dãy số (hn).
c) Gọi Sn là tổng độ dài quãng đường đi được của quả bóng từ lúc bắt đầu thả quả bóng đến khi quả bóng chạm đất lần thứ n. Tính Sn, nếu quá trình này cứ tiếp tục diễn ra mãi thì tổng quãng đường quả bóng di chuyển được là bao nhiêu?
Lời giải:
a) Theo đề bài ta có, nên (hn) là một cấp số nhân với h1 = và công bội .
Suy ra số hạng tổng quát của dãy số (hn): .
b) Ta có: limhn = .
Từ giới hạn đó, ta rút ra được ý nghĩa: Khi n càng dần tới vô cực thì độ cao của quả bóng đạt được sau khi nảy ngày càng nhỏ và độ cao đó dần tới 0.
c) Ta có: .
Nếu quá trình bóng nảy cứ tiếp tục diễn ra mãi, tổng quãng đường quả bóng di chuyển được là: .
Vì lập thành một cấp số nhân lùi vô hạn với và công bội nên ta có .
Vậy tổng quãng đường quả bóng di chuyển được là m.
Xem thêm lời giải bài tập SBT Toán 11 Cánh diều hay, chi tiết khác: