Chọn B

Ta có: $f\left(x\right)+f\left(y\right)=1\iff f\left(y\right)=1-f\left(x\right)\iff \frac{9^y}{9^y+m^2}=1-\frac{9^x}{9^x+m^2}=\frac{m^2}{9^x+m^2}$

$$\begin{gathered} \iff 9^{x+y}+m^2{.9}^y=9^y.m^2+m^4 \\ \iff 9^{x+y}=m^4\iff x+y={\log }_9{m}^4=2{\log }_3\left|m\right| \end{gathered}$$

Đặt $t={\log }_3\left|m\right|$.

Có: $e^{x+y}\le e(x+y)\iff e^{2t}\le 2e.t\iff e^{2t}-2e.t\le 0(*)$

Xét $g\left(t\right)=e^{2t}-2et$, có $g^{\text{'}}\left(t\right)=2e^{2t}-2e=0\iff t=\frac{1}{2}$.

Từ bbt ta được $e^{2t}-2et\ge 0,\forall t$.

Vậy (*) xảy ra $\iff e^{2t}-2et=0\iff t=\frac{1}{2}\iff {\log }_3\left|m\right|=\frac{1}{2}\iff \left|m\right|=\sqrt{3}\iff m=\pm \sqrt{3}.$

Vậy tổng các phần tử của tập S bằng 0.