Chọn C

Gọi C là hình chiếu của B trên đường tròn đáy tâm O của hình trụ. Khi đó $BC\text{//}O{O}^{\text{'}}$ $\Rightarrow BC\text{//}\left(OA{O}^{\text{'}}\right)\Rightarrow d\left(B,\left(OA{O}^{\text{'}}\right)\right)=d\left(C,\left(OA{O}^{\text{'}}\right)\right)$.

Ta có: $AO\perp O{O}^{\text{'}}\Rightarrow S_{\Delta AO{O}^{\text{'}}}=\frac{1}{2}AO.O^{\text{'}}O=\frac{a^2}{2}$.

$\Delta ABC$ vuông tại C có $AC=\sqrt{{\left(AB\right)}^2-{\left(BC\right)}^2}=a\sqrt{2}$, mà AO = OC = a nên $\Delta AOC$ vuông cân tại O$\Rightarrow CO\perp AO,O{O}^{\text{'}}\Rightarrow CO\perp \left(A{O}^{\text{'}}O\right)\Rightarrow d\left(C,\left(A{O}^{\text{'}}O\right)\right)=CO=a$.

Vậy $V_{ABO{O}^{\text{'}}}=\frac{1}{3}.CO.S_{\Delta A{O}^{\text{'}}O}=\frac{a^3}{6}$.