Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên của f'(x) như sau: Có bao nhiêu giá trị nguyên của m trên đoạn [-2022;2023] để hàm số g(x) = f(x^3/9) - m(x^2 + 9)^2/18 nghịch biến trên khoảng (0;5)

Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên của f'(x) như sau:

Có bao nhiêu giá trị nguyên của m trên đoạn [-2022;2023] để hàm số $g\left(x\right)=f\left(\frac{x^3}{9}\right)-\frac{m{\left(x^2+9\right)}^2}{18}$ nghịch biến trên khoảng (0;5)?

A. 2005

B. 2006

C. 2004

D. 2007

Trả lời

Chọn B

Đặt $t=\frac{x^3}{9}\Rightarrow t^{\text{'}}=\frac{x^2}{3}\ge 0^{}\forall x\in \left(0;5\right)\Rightarrow t\in \left(0;\frac{5^3}{9}\right)$. Ta có $t=\frac{x^3}{9}\iff x=\sqrt[3]{9t}\iff x^2=3\sqrt[3]{3}{t}^{\frac{2}{3}}$.

Khi đó ta cần tìm m để hàm số $h\left(t\right)=f\left(t\right)-\frac{m{\left(\sqrt[3]{3}{t}^{\frac{2}{3}}+3\right)}^2}{2}$ nghịch biến trên $\left(0;\frac{5^3}{9}\right)$.

Ta có $h^{\text{'}}\left(t\right)=f^{\text{'}}\left(t\right)-\frac{2}{3}\sqrt[3]{3}.m\left(\sqrt[3]{3}{t}^{\frac{2}{3}}+3\right)t^{\frac{-1}{3}}=f^{\text{'}}\left(t\right)-\frac{2}{3}\sqrt[3]{3}.m\left(\sqrt[3]{3}{t}^{\frac{1}{3}}+3t^{\frac{-1}{3}}\right)$.

Để $h\left(t\right)$ nghịch biến trên $\left(0;\frac{5^3}{9}\right)\iff h^{\text{'}}\left(t\right)=f^{\text{'}}\left(t\right)-\frac{2}{3}\sqrt[3]{3}.m\left(\sqrt[3]{3}{t}^{\frac{1}{3}}+3t^{\frac{-1}{3}}\right)\le 0^{}\forall t\in \left(0;\frac{5^3}{9}\right)$

$\iff m\ge \frac{f^{\text{'}}\left(t\right)}{u\left(t\right)}\forall t\in \left(0;\frac{5^3}{9}\right)$ với $u\left(t\right)=\frac{2}{3}\sqrt[3]{3}\left(\sqrt[3]{3}{t}^{\frac{1}{3}}+3t^{\frac{-1}{3}}\right)$

Ta có $u^{\text{'}}\left(t\right)=\frac{2}{9}\sqrt[3]{3}\left(\sqrt[3]{3}{t}^{\frac{-2}{3}}-3t^{\frac{-4}{3}}\right)$. Ta có $u^{\text{'}}\left(t\right)=0\iff \sqrt[3]{3}{t}^{\frac{-2}{3}}-3t^{\frac{-4}{3}}=0\iff t=3$.

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên ta thấy được $u\left(t\right)\ge u{\left(3\right)}^{}\forall t\in \left(0;\frac{5^3}{9}\right)$, mà $f^{\text{'}}\left(t\right)\le f^{\text{'}}{\left(3\right)}^{}\forall t\in \left(0;\frac{5^3}{9}\right)$

Khi đó $m\ge \frac{f^{\text{'}}\left(t\right)}{u\left(t\right)}\forall t\in \left(0;\frac{5^3}{9}\right)\iff m\ge \frac{f^{\text{'}}\left(3\right)}{u\left(3\right)}=18$.