Chọn A

Kẻ $Am//OM,OH\perp Am\left(H\in Am\right),OK\perp CH\left(K\in CH\right)$ nên $d\left(OM,AC\right)=d\left(OM,\left(CAH\right)\right)$

Ta có: $OC\perp \left(OAB\right)\Rightarrow OC\perp AH,OH\perp AH\Rightarrow AH\perp \left(OCH\right)\Rightarrow AH\perp OK$

Mà $d\left(OM,AC\right)=d\left(OM,\left(CAH\right)\right)=d\left(O,\left(CAH\right)\right)=OK=\frac{2}{3}.$

Vì tam giác OAB cân tại O nên $OM\perp AB,OM=AM=\frac{AB}{2}$.

Vì $OH\perp Am\Rightarrow OH\perp OM$ và $OM\perp AB,AH//OM\Rightarrow AH\perp AM$

Nên OHAM là hình vuông ( hình chữ nhật có hai cạnh kề bằng nhau)

Khi đó: $OH=AM=\frac{AB}{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Do: $\frac{1}{O{K}^2}=\frac{1}{O{H}^2}+\frac{1}{O{C}^2}\Rightarrow OC=2\Rightarrow V_{O.ABC}=\frac{1}{6}.OA.OB.OC=\frac{1}{3}$