Xét các số thực x, y thỏa mãn ${\log }_{\frac{1}{2}}x+{\log }_2\left(x^2+y\right)\le -2{\log }_{\frac{1}{4}}y$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=3x+4y$.

Đáp án đúng là: A

Điều kiện $x,y>0$. Bất phương trình đã cho tương đương

${\log }_{\frac{1}{2}}x+{\log }_2\left(x^2+y\right)\le -2{\log }_{\frac{1}{4}}y\iff {\log }_2\frac{x^2+y}{x}\le {\log }_{2}y\iff \frac{x^2+y}{x}\le y\iff x^2+y\le xy$.

Xét $0<x\le 1$, ta có $x^2+y\le xy\iff x^2\le \left(x-1\right)y\le 0$ (vô nghiệm).

Xét $x>1$, ta có $P=3x+4y>3x>3$. (1)

Mặt khác $P=3x+4y\iff y=\frac{P-3x}{4}$ suy ra.

$x^2+y\le xy\iff x^2+\frac{P-3x}{4}\le x\cdot \frac{P-3x}{4}\iff 7x^2-\left(P+3\right)x+P\le 0$

Tồn tại x, y thỏa mãn yêu cầu bài toán khi và chỉ khi $7x^2-\left(P+3\right)x+P\le 0$ có nghiệm.

Do đó $\Delta ={\left(P+3\right)}^2-28P\ge 0\iff P^2-22P+9\ge 0\iff \left[\begin{array}{l}P\ge 11+4\sqrt{7}\\ P\le 11-4\sqrt{7}.\end{array}\right.$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $P\ge 11+4\sqrt{7}$.

Dấu đẳng thức xảy ra khi:

$7x^2-\left(14+4\sqrt{7}\right)x+\left(11+4\sqrt{7}\right)\le 0\iff x=\frac{7+2\sqrt{7}}{7}\Rightarrow y=\frac{28+11\sqrt{7}}{14}$.