Một cái thùng đựng dầu có thiết diện ngang ( mặt trong của thùng) là một đường elip có trục lớn là 1m, trục bé 0,8m, chiều dài (mặt trong của thùng) bằng 3m. Được đặt sao cho trục bé nằm theo phương thẳng đứng (như hình vẽ). Biết chiều cao của dầu hiện có trong thùng (tính từ đáy thùng đến mặt dầu) là 0,6m. Tính thể tích V của dầu có trong thùng (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Đáp án đúng là: D

Chọn hệ trục toạ độ như hình vẽ

Vì độ dài trục lớn là 1m nên ta có $2a=1\iff a=\frac{1}{2}$.

Độ dài trục bé là 0,8m nên ta có $2b=\mathrm{0,8}\Rightarrow b=\frac{2}{5}$.

Ta có phương trình của Elip là $\frac{x^2}{\frac{1}{4}}+\frac{y^2}{\frac{4}{25}}=1.$

Gọi M, N lần lượt là giao điểm của dầu với elip.

Gọi $S_1$ là diện tích của Elip ta có $S_1=\pi ab=\pi .\frac{1}{2}.\frac{2}{5}=\frac{\pi }{5}$.

Gọi $S_2$ là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi Elip và đường thẳng MN

Theo đề bài chiều cao của dầu hiện có trong thùng ( tính từ đáy thùng lên mặt dầu) là 0,6m nên ta có phương trình của đường thẳng MN là $y=\frac{1}{5}.$

Mặt khác từ phương trình $\frac{x^2}{\frac{1}{4}}+\frac{y^2}{\frac{4}{25}}=1$, ta có $y=\frac{4}{5}\sqrt{\frac{1}{4}-x^2}.$

Tọa độ giao điểm của elip và đường thẳng $y=\frac{1}{5}$ là nghiệm của hệ:

$\left\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{\frac{1}{4}}+\frac{y^2}{\frac{4}{25}}=1\\ y=\frac{1}{5}\end{array}\right.$$\iff \left\{\begin{array}{l}x=\pm \frac{\sqrt{3}}{4}\\ y=\frac{1}{5}\end{array}\right.$.

Do đó đường thẳng $y=\frac{1}{5}$ cắt Elip tại hai đỉnh M, N có hoành độ lần lượt là $-\frac{\sqrt{3}}{4}$ và $\frac{\sqrt{3}}{4}$ nên $S_2=\underset{-\frac{\sqrt{3}}{4}}{\overset{\frac{\sqrt{3}}{4}}{\int }}\left(\frac{4}{5}\sqrt{\frac{1}{4}-x^2}-\frac{1}{5}\right)\text{d}x=\frac{4}{5}\underset{-\frac{\sqrt{3}}{4}}{\overset{\frac{\sqrt{3}}{4}}{\int }}\sqrt{\frac{1}{4}-x^2}\text{d}x-\frac{\sqrt{3}}{10}.$

Tính $I=\underset{-\frac{\sqrt{3}}{4}}{\overset{\frac{\sqrt{3}}{4}}{\int }}\sqrt{\frac{1}{4}-x^2}\text{d}x.$

Đặt $x=\frac{1}{2}\sin t\Rightarrow \text{d}x=\frac{1}{2}\text{c}ost\text{d}t.$

Đổi cận: Khi $x=-\frac{\sqrt{3}}{4}$ thì $t=-\frac{\pi }{3};$ khi $x=\frac{\sqrt{3}}{4}$ thì $t=\frac{\pi }{3}.$

$I=\underset{-\frac{\pi }{3}}{\overset{\frac{\pi }{3}}{\int }}\frac{1}{2}.\frac{1}{2}{\text{cos}}^{2}t\text{d}t=\frac{1}{8}\underset{-\frac{\pi }{3}}{\overset{\frac{\pi }{3}}{\int }}\left(1+c\text{os}2t\right)\text{d}t=\frac{1}{8}\left(\frac{2\pi }{3}+\frac{\sqrt{3}}{2}\right).$

Vậy $S_2=\frac{4}{5}.\frac{1}{8}\left(\frac{2\pi }{3}+\frac{\sqrt{3}}{2}\right)-\frac{\sqrt{3}}{10}=\frac{\pi }{15}-\frac{\sqrt{3}}{20}.$

Thể tích của dầu trong thùng là $V=\left(\frac{\pi }{5}-\frac{\pi }{15}+\frac{\sqrt{3}}{20}\right).3=\mathrm{1,52.}$

Vậy $V=\mathrm{1,52}{\text{m}}^{\text{3}}\text{.}$