Đáp án đúng là: D

Đặt $z=x+yi(x,y\in ℝ)$. Khi đó $\left|z-1\right|=\sqrt{34}\iff {\left(x-1\right)}^2+y^2=34$ (C).

Suy ra điểm biểu diễn của số phức $z_1,z_2$ nằm trên đường tròn (C) tâm I(1;0) bán kính $R=\sqrt{34}$.

Lại có, $\left|z+1+mi\right|=\left|z+m+2i\right|\iff {\left(x+1\right)}^2+{\left(y+m\right)}^2={\left(x+m\right)}^2+{\left(y+2\right)}^2$

$\iff \left(2-2m\right)x+\left(2m-4\right)y-3=0$ (d).

Suy ra điểm biểu diễn số phức $z_1,z_2$ nằm trên đường thẳng (d).

Gọi $A\left(x_0;y_0\right)$ là điểm cố định mà đường thẳng (d) luôn đi qua. Khi đó, $\left(2-2m\right)x_0+\left(2m-4\right)y_0-3=\mathrm{0,}\forall m$

$\iff 2m(y_0-x_0)+2x_0-4y_0-3=\mathrm{0,}\forall m$

$\iff \left\{\begin{array}{l}{y}_0-x_0=0\\ 2x_0-4y_0-3=0\end{array}\right.\iff x_0=y_0=-\frac{3}{2}\Rightarrow A\left(-\frac{3}{2};-\frac{3}{2}\right)$.

Ta có, $IA=\frac{\sqrt{34}}{2}<R$ nên điểm A nằm trong đường tròn (C).

Do đó đường thẳng (d) luôn cắt đường tròn (C) tại 2 điểm M, N và điểm M, N chính là điểm biểu diễn của số phức $z_1,z_2$.

Theo giả thiết thì $\left|z_1-z_2\right|=MN$ lớn nhất $\iff \left(d\right)$$\equiv IA$ .

Do đó $\left|z_1+z_2\right|=\left|\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{ON}\right|=\left|2.\overrightarrow{OI}\right|=2.OI=2$.