Một cái thùng đựng đầy nước được tạo thành từ việc cắt mặt xung quanh của một hình nón bởi một mặt phẳng vuông góc với trục của hình nón.

Một cái thùng đựng đầy nước được tạo thành từ việc cắt mặt xung quanh của một hình nón bởi một mặt phẳng vuông góc với trục của hình nón. Miệng thùng là đường tròn có bán kính bằng ba lần bán kính mặt đáy của thùng. Người ta thả vào đó một khối cầu có đường kính bằng $\frac{3}{2}$ chiều cao của thùng nước và đo được thể tích tràn ra là $54\sqrt{3}\pi \left({\text{dm}}^{\text{3}}\right)$. Biết rằng khối cầu tiếp xúc với mặt trong của thùng và đúng bằng một nửa của khối cầu đã chìm trong nước (hình vẽ). Thể tích nước còn lại trong thùng có giá trị nào sau đây?

A. $\frac{46}{3}\sqrt{3}\pi \left({\text{dm}}^{\text{3}}\right)\text{.}$

B. $\frac{46}{5}\sqrt{3}\pi \left({\text{dm}}^{\text{3}}\right)\text{.}$

C. $18\sqrt{3}\pi \left({\text{dm}}^{\text{3}}\right)\text{.}$

D. $18\pi \left({\text{dm}}^{\text{3}}\right)\text{.}$

Trả lời

Đáp án đúng là: A

Theo đề, ta có $OA=3DK$

Thể tích nước trong thùng là:

$V=\frac{1}{3}\pi .OK\left(O{A}^2+D{K}^2+OA.DK\right)$ $\Rightarrow V=\frac{13}{3}\pi .OK.D{K}^2.$

Thể tích nước tràn ra bằng một nửa thể tích khối cầu nên

ta có $\frac{1}{2}.\frac{4}{3}\pi .O{H}^3=54\sqrt{3}\pi \Rightarrow OH=3\sqrt{3}\text{\hspace{0.17em}cm}.$

Theo đề $2OH=\frac{3}{2}OK\Rightarrow OK=\frac{4}{3}OH=4\sqrt{3}\text{\hspace{0.17em}cm}.$

Vì $\frac{IK}{OI}=\frac{DK}{AO}=\frac{1}{3}$$\Rightarrow OI=\frac{3}{2}OK=6\sqrt{3}$.

Xét tam giác OBI vuông tại O,

ta có

 $\frac{1}{O{B}^2}=\frac{1}{O{H}^2}-\frac{1}{O{I}^2}=\frac{1}{{\left(3\sqrt{3}\right)}^2}-\frac{1}{{\left(6\sqrt{3}\right)}^2}\Rightarrow OA=OB=6\text{cm}\Rightarrow DK=2\text{cm}.$

Thể tích cần tìm là

$V-54\sqrt{3}\pi =\frac{13}{3}\pi .4\sqrt{3}{.2}^2-54\sqrt{3}\pi =\frac{46\sqrt{3}\pi }{3}\left({\text{dm}}^{\text{3}}\right)\text{.}$