Cho hàm số f(x) liên tục trên R thỏa mãn tích phân từ 0 đến pi/4f(tan x)dx = 3 và tích phân từ 0 đến 1 {x^2f(x)/(x^2+1)dx = 1. Tính I = tích phân từ 0 đến 1 f(x)dx.

A. I = 3

B. I = 2

C. I = 4

D. I = 6

Trả lời

Đáp án đúng là: C

Xét $I_1=\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{4}}{\int }}f\left(\tan x\right)\text{d}x=3$

Đặt $t=\tan x\Rightarrow \text{d}t=\frac{1}{{\cos }^{2}x}\text{d}x$

$I_1=\underset{0}{\overset{1}{\int }}f\left(t\right).\frac{1}{1+t^2}\text{d}t=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{f\left(x\right)}{1+x^2}\text{d}x=3$

Ta có:

$\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{x^{2}f\left(x\right)}{x^2+1}\text{d}x=1\iff \underset{0}{\overset{1}{\int }}\left(1-\frac{1}{x^2+1}\right)f\left(x\right)\text{\hspace{0.17em}d}x=1\iff \underset{0}{\overset{1}{\int }}f\left(x\right)\text{d}x-\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{f\left(x\right)}{x^2+1}\text{d}x=1$

$\iff \underset{0}{\overset{1}{\int }}f\left(x\right)\text{d}x-3=1\iff \underset{0}{\overset{1}{\int }}f\left(x\right)\text{d}x=4$.