Đáp án đúng là: D

Ta có $\Delta ={\left(m+1\right)}^2-m^2-3-4m=-2m-2$.

TH1: $\Delta >0\iff m<-1$. Phương trình có hai nghiệm thực phân biệt $z_1$, $z_2$.

Theo hệ thức Vi-ét, ta có $z_1+z_2=m+1$, $z_1{z}_2=\frac{m^2+3}{4}+m$.

Suy ra ${\left(z_1-z_2\right)}^2={\left(z_1+z_2\right)}^2-4z_1{z}_2={\left(m+1\right)}^2-m^2-3-4m=-2m-2$.

Khi đó:

$\left|z_1+z_2\right|=\sqrt{2}\left|z_1-z_2\right|\iff {\left(z_1+z_2\right)}^2=2{\left(z_1-z_2\right)}^2$

$\iff {\left(m+1\right)}^2=2\left(-2m-2\right)\iff m^2+6m+5=0\iff \left[\begin{array}{l}m=-1\\ m=-5.\end{array}\right.$

So với điều kiện ta nhận m = -5.

TH2: $\Delta <0\iff m>-1$. Phương trình có hai nghiệm phức phân biệt có phần ảo khác không $z_1$, $z_2$ với $z_1=\overline{z_2}$.

Suy ra $z_1-z_2=i\sqrt{-\Delta }\Rightarrow \left|z_1-z_2\right|=\sqrt{-\Delta }$.

Do đó $\left|z_1+z_2\right|=\sqrt{2}\left|z_1-z_2\right|\iff {\left(z_1+z_2\right)}^2=2{\left(\sqrt{-\Delta }\right)}^2$

$\iff {\left(m+1\right)}^2=2\left(2m+2\right)\iff m^2-2m-3=0\iff \left[\begin{array}{l}m=-1\\ m=3.\end{array}\right.$.

So với điều kiện ta nhận m = 3.

Vậy có hai giá trị m thỏa yêu cầu bài toán.