Trên tập hợp số phức, xét phương trình z^2 - (m+1)z +(m^2+3)/4 + m = 0 ( m là số thực). Có bao nhiêu giá trị của m để phương trình đó có hai nghiệm
33
02/12/2024
Trên tập hợp số phức, xét phương trình z2−(m+1)z+m2+34+m=0 (m là số thực). Có bao nhiêu giá trị của m để phương trình đó có hai nghiệm phân biệt z1, z2 thỏa mãn |z1+z2|=√2|z1−z2|?
A. 4
B. 3
C. 1
D. 2
Trả lời
Đáp án đúng là: D
Ta có Δ=(m+1)2−m2−3−4m=−2m−2.
TH1: Δ>0⇔m<−1. Phương trình có hai nghiệm thực phân biệt z1, z2.
Theo hệ thức Vi-ét, ta có z1+z2=m+1, z1z2=m2+34+m.
Suy ra (z1−z2)2=(z1+z2)2−4z1z2=(m+1)2−m2−3−4m=−2m−2.
Khi đó:
|z1+z2|=√2|z1−z2|⇔(z1+z2)2=2(z1−z2)2
⇔(m+1)2=2(−2m−2)⇔m2+6m+5=0⇔[m=−1m=−5.
So với điều kiện ta nhận m = -5.
TH2: Δ<0⇔m>−1. Phương trình có hai nghiệm phức phân biệt có phần ảo khác không z1, z2 với z1=¯z2.
Suy ra z1−z2=i√−Δ⇒|z1−z2|=√−Δ.
Do đó |z1+z2|=√2|z1−z2|⇔(z1+z2)2=2(√−Δ)2
⇔(m+1)2=2(2m+2)⇔m2−2m−3=0⇔[m=−1m=3..
So với điều kiện ta nhận m = 3.
Vậy có hai giá trị m thỏa yêu cầu bài toán.
