Xét các số thực dương x, y, z thỏa mãn x+y+z=4 và xy+yz+zx=5. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $\left(x^3+y^3+z^3\right)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)$ bằng

Chọn B

Ta có: $\left\{\begin{array}{l}x+y+z=4\\ xy+yz+zx=5\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x+y=4-z\\ xy=5-z\left(x+y\right)=5-4z+z^2\end{array}\right.$.

Lại có:${\left(x+y\right)}^2\ge 4xy$ ${\left(x+y\Rightarrow {\left(4-z\right)}^2\ge 4\left(5-4z+z^2\right)\Rightarrow \frac{2}{3}\le z\le 2\right)}^2$. Dấu '=" xảy ra khi x=y.

Và ${\left(x+y+z\right)}^3=x^3+y^3+z^3+3\left(x+y+z\right)\left(x+y\right)z+3xy\left(x+y\right)$

$\Rightarrow x^3+y^3+z^3=4^3-12\left(x+y\right)z-3xy\left(x+y\right)=64-3\left(4-z\right)\left(5+z^2\right)$.

Ta có: $P=\left(x^3+y^3+z^3\right)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)=\left(3z^3-12z^2+15z+4\right)\left(\frac{5}{z^3-4z^2+5z}\right)$.

Đặt $t=z^3-4z^2+5z$, với $\frac{2}{3}\le z\le 2\Rightarrow \frac{50}{27}\le t\le 2$.

Do đó xét hàm số $f\left(t\right)=5\left(\frac{4}{t}+3\right)$, với $\frac{50}{27}\le t\le 2$.

Ta có $f^{\text{'}}\left(t\right)=\frac{-20}{t^2}<0,\forall t\in \left[\frac{50}{27};2\right]$ nên hàm số $f\left(t\right)$ liên tục và nghịch biến.

Do đó $P_{\min }=f\left(2\right)=25$ đạt tại $x=y=1$, $z=2$.