Viết phương trình đường tròn (C) trong mỗi trường hợp sau: a) (C) có tâm I(- 6; 2) bán kính 7

Bài 54 trang 89 SBT Toán 10 Tập 2: Viết phương trình đường tròn (C) trong mỗi trường hợp sau:

a) (C) có tâm I(- 6; 2) bán kính 7.

b) (C) có tâm I(3; - 7) và đi qua điểm A(4; 1)

c) (C) có tâm I(1; 2) và tiếp xúc với đường thẳng 3x + 4y + 19 = 0.

d) (C) có đường kính AB với A(- 2; 3) và B(0; 1)

e) (C) có tâm I thuộc đường thẳng ${\Delta }_1:\left\{\begin{array}{c}x=1+t\\ y=1-t\end{array}\right.$  và (C) tiếp xúc với hai đường thẳng  ${\Delta }_2:3x+4y-1=\mathrm{0,}{\Delta }_3:3x-4y+2=0$

Trả lời

a) Phương trình (C) có tâm I(- 6; 2) bán kính 7 là: (x + 6)² + (y – 2)² = 7².

b) Bán kính của đường tròn (C) là: IA  $=\left|\overrightarrow{IA}\right|=\sqrt{{\left(4-3\right)}^2+{\left(1+7\right)}^2}=\sqrt{65}$

Phương trình đường tròn là: ${\left(x-3\right)}^2+{\left(y+7\right)}^2=65$ .

c) Bán kính của đường tròn chính bằng khoảng cách từ I đến đường thẳng d: 3x + 4y + 19 = 0.

Suy ra  $R=d\left(I,d\right)=\frac{\left|3.1+4.2+19\right|}{\sqrt{3^2+4^2}}=\frac{30}{5}=6$

Phương trình đường tròn là: ${\left(x-1\right)}^2+{\left(y-2\right)}^2=36$ .

d) Gọi I là tâm của đường tròn thì IA = R và I là trung điểm của AB

Suy ra I(-1; 2),  $IA=\left|\overrightarrow{IA}\right|=\sqrt{{\left(-1+2\right)}^2+{\left(2-3\right)}^2}=\sqrt{2}$

Phương trình đường tròn là: ${\left(x+1\right)}^2+{\left(y-2\right)}^2=2$ .

e) Tâm I thuộc đường thẳng ${\Delta }_1:\left\{\begin{array}{c}x=1+t\\ y=1-t\end{array}\right.$  nên I(1 + t; 1 – t)

Đường tròn có 2 tiếp tuyến nên khoảng cách từ I đến 2 tiếp tuyến bằng nhau và bằng bán kính của đường tròn.

Ta có:  $d\left(I,{\Delta }_2\right)=d\left(I,{\Delta }_3\right)$

 $$\begin{gathered} \iff \frac{\left|3.\left(1+t\right)+4\left(1-t\right)-1\right|}{\sqrt{3^2+4^2}}=\frac{\left|3\left(1+t\right)-4\left(1-t\right)+2\right|}{\sqrt{3^2+4^2}} \\ \iff \left|t-6\right|=\left|7t+1\right| \\ \iff \left[\begin{array}{l}t-6=7t+1\\ 6-t=7t+1\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}t=\frac{-7}{6}\\ t=\frac{5}{8}\end{array}\right. \end{gathered}$$

Với t = $\frac{5}{8}$  thì I $\left(\frac{13}{8};\frac{3}{8}\right)$  và R = d(I; ∆₂) = $\frac{\left|\frac{5}{8}-6\right|}{\sqrt{3^2+4^2}}=\frac{43}{40}$ . Khi đó phương trình đường tròn là: ${\left(x-\frac{13}{8}\right)}^2+{\left(y-\frac{3}{8}\right)}^2={\left(\frac{43}{40}\right)}^2$ .

Với t = $\frac{-7}{6}$  thì I $\left(-\frac{1}{6};\frac{13}{8}\right)$  và R = d(I; ∆₂) = $\frac{\left|-\frac{7}{6}-6\right|}{\sqrt{3^2+4^2}}=\frac{43}{30}$ . Khi đó phương trình đường tròn là: ${\left(x+\frac{1}{6}\right)}^2+{\left(y-\frac{13}{6}\right)}^2={\left(\frac{43}{30}\right)}^2$ .

Xem thêm lời giải sách bài tập Toán lớp 10 Cánh diều hay, chi tiết khác: 

Bài 2: Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ

Bài 3: Phương trình đường thẳng

Bài 4: Vị trí tương đối và góc giữa hai đường thẳng. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

Bài 5: Phương trình đường tròn

Bài 6: Ba đường conic

Bài tập cuối chương 7