Từ điểm M nằm ngoài đường tròn (O), vẽ cát tuyến MCD không đi qua tâm O và hai tiếp tuyến MA, MB đến đường tròn (O) sao cho C nằm giữa M và D. Gọi I là trung điểm của CD. Gọi K là giao điểm của các tiếp tuyến tại C và D của đường tròn (O). Chứng minh: A, B, K thẳng hàng.
MA là tiếp tuyến của đường tròn (O)
\[\widehat {MAC} = \widehat {MDA}\](góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cùng và góc nội tiếp cùng chắn cung AC)
Xét △MAC và △MDA:
\[\widehat {MAC} = \widehat {MDA}\]
\[\widehat M\] chung
Do đó △MAC ᔕ △MDA (g.g)
Suy ra \[\frac{{MA}}{{MD}} = \frac{{MC}}{{MA}}\]hay MA2 = MC.MD
Xét ∆AMO vuông tại A có AH ^ OM nên ta có:
Þ MH. MO = MA2 (hệ thức lượng trong tam giác)
Þ MH. MO = MC.MD
Mà \[\frac{{MA}}{{MD}} = \frac{{MC}}{{MA}}\]
Þ △MHC ᔕ △MDC (c.g.c)
\[ \Rightarrow \widehat {MHC} = \widehat {MDO}\]
Þ Tứ giác HCDO nội tiếp đường tròn
Ta có: KC và KD là hai tiếp tuyến cắt nhau tại K của đường tròn (O)
\[ \Rightarrow \widehat {KDO} = \widehat {KCO} = 90^\circ \]
\[ \Rightarrow \widehat {KDO} + \widehat {KCO} = 180^\circ \]
Þ Tứ giác KCOD nội tiếp đường tròn
Mà tứ giác HODC nội tiếp đường tròn
Þ 5 điểm K, C, H, O, D cùng thuộc một đường tròn
Þ HK là phân giác của \[\widehat {CHD}\] (do KC = KD)
Vậy 3 điểm A, B, K thẳng hàng.