Từ điểm M bên ngoài đường tròn (O) kẻ cát tuyến MAB (qua O) và tiếp tuyến MC
Từ điểm M bên ngoài đường tròn (O) kẻ cát tuyến MAB (qua O) và tiếp tuyến MC, MD. Gọi K là giao của AC và BD. Chứng minh MK vuông góc với AB.
Ta có: \[\widehat {ACB} = 90^\circ \] (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
Theo tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau (MC, MD) thì OM là tia phân giác
\[ \Rightarrow \widehat {DOA} = \widehat {COA}\]
\[ \Rightarrow {\widehat B_1} = {\widehat B_2}\] (hai góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau)
Mà \[{\widehat B_2} = \widehat {KCM}\] (góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung thì bằng góc nội tiếp chắn cung đó)
\[ \Rightarrow {\widehat B_1} = \widehat {KCM}\]
Xét tứ giác MKBC có:
\[{\widehat B_1} = \widehat {KCM}\] và cùng nhìn cạnh KM nên MKBC là tứ giác nội tiếp
\[ \Rightarrow \widehat {KMB} = \widehat {KCB} = \widehat {ACB} = 90^\circ \]
Suy ra MK ^ AB (vì M, A, B thẳng hàng).
Vậy MK ^ AB.