Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, xét phép biến hình h biến mỗi điểm M(x; y) thành điểm M’(x; y), trong đó

Bài 5 trang 10 Chuyên đề Toán 11: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, xét phép biến hình h biến mỗi điểm M(x; y) thành điểm M’(x; y), trong đó

Hãy chứng minh h là một phép dời hình.

Trả lời

Lấy hai điểm bất kì M(x₁; y₁) và N(x₂; y₂).

Suy ra $\mathrm{MN}=\sqrt{{\left({\mathrm{x}}_2-{\mathrm{x}}_1\right)}^2+{\left({\mathrm{y}}_2-{\mathrm{y}}_1\right)}^2}$.

Ta có ảnh của M, N qua phép biến hình h là ${\mathrm{M}}^{\text{'}}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}{\mathrm{x}}_1-\frac{\sqrt{2}}{2}{\mathrm{y}}_1;\frac{\sqrt{2}}{2}{\mathrm{x}}_1+\frac{\sqrt{2}}{2}{\mathrm{y}}_1\right)$ và ${\mathrm{N}}^{\text{'}}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}{\mathrm{x}}_2-\frac{\sqrt{2}}{2}{\mathrm{y}}_2;\frac{\sqrt{2}}{2}{\mathrm{x}}_2+\frac{\sqrt{2}}{2}{\mathrm{y}}_2\right)$

Khi đó

${\mathrm{M}}^{\text{'}}{\mathrm{N}}^{\text{'}}=\sqrt{{\left(\frac{\sqrt{2}}{2}{\mathrm{x}}_2-\frac{\sqrt{2}}{2}{\mathrm{y}}_2-\frac{\sqrt{2}}{2}{\mathrm{x}}_1+\frac{\sqrt{2}}{2}{\mathrm{y}}_1\right)}^2+{\left(\frac{\sqrt{2}}{2}{\mathrm{x}}_2+\frac{\sqrt{2}}{2}{\mathrm{y}}_2-\frac{\sqrt{2}}{2}{\mathrm{x}}_1-\frac{\sqrt{2}}{2}{\mathrm{y}}_1\right)}^2}$

$=\sqrt{\frac{1}{2}{\left({\mathrm{x}}_2-{\mathrm{y}}_2-{\mathrm{x}}_1+{\mathrm{y}}_1\right)}^2+\frac{1}{2}{\left({\mathrm{x}}_2+{\mathrm{y}}_2-{\mathrm{x}}_1-{\mathrm{y}}_1\right)}^2}$

$=\frac{\sqrt{2}}{2}.\sqrt{{\left[\left({\mathrm{x}}_2-{\mathrm{x}}_1\right)-\left({\mathrm{y}}_2-{\mathrm{y}}_1\right)\right]}^2+{\left[\left({\mathrm{x}}_2-{\mathrm{x}}_1\right)+\left({\mathrm{y}}_2-{\mathrm{y}}_1\right)\right]}^2}$

$=\frac{\sqrt{2}}{2}\sqrt{2{\left({\mathrm{x}}_2-{\mathrm{x}}_1\right)}^2+2{\left({\mathrm{y}}_2-{\mathrm{y}}_1\right)}^2}$ (khai triển bình phương)

$=\sqrt{{\left({\mathrm{x}}_2-{\mathrm{x}}_1\right)}^2+{\left({\mathrm{y}}_2-{\mathrm{y}}_1\right)}^2}$

= MN

Vậy h là một phép dời hình.

Xem thêm các bài giải Chuyên đề Toán 11 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Bài 1: Phép biến hình và phép dời hình

Bài 2: Phép tịnh tiến

Bài 3: Phép đối xứng trục

Bài 4: Phép đối xứng tâm

Bài 5: Phép quay

Bài 6: Phép vị tự