Cho đường thẳng d cố định, xét phép biến hình f biến điểm M thuộc d thành chính nó và biến điểm M không thuộc d

Bài 2 trang 10 Chuyên đề Toán 11: Cho đường thẳng d cố định, xét phép biến hình f biến điểm M thuộc d thành chính nó và biến điểm M không thuộc d thành điểm M’ sao cho d là trung trực của đoạn MM’. Hãy chứng minh f là một phép dời hình.

Trả lời

• Phép biến hình f biến 1 điểm thuộc d thành chính nó, do đó khoảng cách giữa hai điểm bất kì thuộc d qua phép biến hình f được bảo toàn (1)

• Lấy hai điểm M, N bất kì không thuộc d.

Ta có M’ = f(M) và N’ = f(N).

Gọi H, K lần lượt là trung điểm của MM’ và NN’.

Suy ra $\overrightarrow{\mathrm{MH}}+\overrightarrow{{\mathrm{M}}^{\text{'}}\mathrm{H}}=\overrightarrow{0};\overrightarrow{\mathrm{KN}}+\overrightarrow{{\mathrm{KN}}^{\text{'}}}=\overrightarrow{0}$

Ta có:

⦁ $\overrightarrow{\mathrm{MN}}+\overrightarrow{{\mathrm{M}}^{\text{'}}{\mathrm{N}}^{\text{'}}}=\left(\overrightarrow{\mathrm{MH}}+\overrightarrow{\mathrm{HK}}+\overrightarrow{\mathrm{KN}}\right)+\left(\overrightarrow{{\mathrm{M}}^{\text{'}}\mathrm{H}}+\overrightarrow{\mathrm{HK}}+\overrightarrow{{\mathrm{KN}}^{\text{'}}}\right)$

$=\left(\overrightarrow{\mathrm{MH}}+\overrightarrow{{\mathrm{M}}^{\text{'}}\mathrm{H}}\right)+\left(\overrightarrow{\mathrm{KN}}+\overrightarrow{{\mathrm{KN}}^{\text{'}}}\right)+2\overrightarrow{\mathrm{HK}}$

$=\overrightarrow{0}+\overrightarrow{0}+2\overrightarrow{\mathrm{HK}}$ (do H, K lần lượt là trung điểm của MM’, NN’)

$=2\overrightarrow{\mathrm{HK}}$

⦁ $\overrightarrow{\mathrm{MN}}-\overrightarrow{{\mathrm{M}}^{\text{'}}{\mathrm{N}}^{\text{'}}}=\left(\overrightarrow{\mathrm{HN}}-\overrightarrow{\mathrm{HM}}\right)-\left(\overrightarrow{{\mathrm{HN}}^{\text{'}}}-\overrightarrow{{\mathrm{HM}}^{\text{'}}}\right)$

$=\overrightarrow{\mathrm{HN}}-\overrightarrow{\mathrm{HM}}-\overrightarrow{{\mathrm{HN}}^{\text{'}}}+\overrightarrow{{\mathrm{HM}}^{\text{'}}}$

$=\left(\overrightarrow{\mathrm{HN}}-\overrightarrow{{\mathrm{HN}}^{\text{'}}}\right)+\left(\overrightarrow{{\mathrm{HM}}^{\text{'}}}-\overrightarrow{\mathrm{HM}}\right)=\overrightarrow{{\mathrm{N}}^{\text{'}}\mathrm{N}}+\overrightarrow{{\mathrm{MM}}^{\text{'}}}$

Khi đó ${\overrightarrow{\mathrm{MN}}}^2-{\overrightarrow{{\mathrm{M}}^{\text{'}}{\mathrm{N}}^{\text{'}}}}^2=\left(\overrightarrow{\mathrm{MN}}+\overrightarrow{{\mathrm{M}}^{\text{'}}{\mathrm{N}}^{\text{'}}}\right)\left(\overrightarrow{\mathrm{MN}}-\overrightarrow{{\mathrm{M}}^{\text{'}}{\mathrm{N}}^{\text{'}}}\right)$

$=2\overrightarrow{\mathrm{HK}}\left(\overrightarrow{{\mathrm{N}}^{\text{'}}\mathrm{N}}+\overrightarrow{{\mathrm{MM}}^{\text{'}}}\right)$

$=2\overrightarrow{\mathrm{HK}}.\overrightarrow{{\mathrm{N}}^{\text{'}}\mathrm{N}}+2\overrightarrow{\mathrm{HK}}.\overrightarrow{{\mathrm{MM}}^{\text{'}}}=2.0+2.0=0$

(do d là đường trung trực của MM’, NN’ nên $\overrightarrow{{\mathrm{MM}}^{\text{'}}}\perp \overrightarrow{\mathrm{HK}};\overrightarrow{{\mathrm{NN}}^{\text{'}}}\perp \overrightarrow{\mathrm{HK}}$).

Suy ra ${\overrightarrow{\mathrm{MN}}}^2={\overrightarrow{{\mathrm{M}}^{\text{'}}{\mathrm{N}}^{\text{'}}}}^2$

Do đó MN = M’N’ (2)

Từ (1) và (2) suy ra phép biến hình f bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì.

Vậy f là một phép dời hình.

Xem thêm các bài giải Chuyên đề Toán 11 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Bài 1: Phép biến hình và phép dời hình

Bài 2: Phép tịnh tiến

Bài 3: Phép đối xứng trục

Bài 4: Phép đối xứng tâm

Bài 5: Phép quay

Bài 6: Phép vị tự