Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm M(4; 1), đường thẳng d luôn đi qua M, d cắt Ox, Oy lần lượt tại A(a; 0), B(0; b). Hãy viết phương trình đường thẳng (d) sao cho S_OAB = 2.

Phương trình đường thẳng d có dạng: \(\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1\) (theo giả thiết, ta có a > 0, b > 0).

Vì d luôn đi qua M(4; 1) nên ta có \(\frac{4}{a} + \frac{1}{b} = 1\).

⇔ 4b + a = ab    (1)

Ta có OA = |a|, OB = |b|.

Suy ra \({S_{OAB}} = \frac{1}{2}OA.OB = \frac{1}{2}\left| {ab} \right|\).

Theo đề, ta có S_OAB = 2.

\( \Leftrightarrow \frac{1}{2}\left| {ab} \right| = 2\).

⇔ |ab| = 4.

⇔ ab = 4 hoặc ab = –4.

Thế \(ab = 4 \Leftrightarrow a = \frac{4}{b}\) vào (1), ta được: \(4b + \frac{4}{b} = 4\).

⇔ 4b² – 4b + 4 = 0 (vô nghiệm).

Thế \(ab = - 4 \Leftrightarrow a = - \frac{4}{b}\) vào (1), ta được: \(4b - \frac{4}{b} = - 4\).

⇔ 4b² + 4b – 4 = 0.

\( \Leftrightarrow b = \frac{{ - 1 \pm \sqrt 5 }}{2}\).

Với \(b = \frac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2}\), ta có \(a = - \frac{4}{b} = - 2 - 2\sqrt 5 \).

Với \(b = \frac{{ - 1 - \sqrt 5 }}{2}\), ta có \(a = - \frac{4}{b} = - 2 + 2\sqrt 5 \).

Vậy có hai đường thẳng d thỏa mãn yêu cầu bài toán có phương trình là \(\left( { - 1 + \sqrt 5 } \right)x - 4\left( {1 + \sqrt 5 } \right)y + 8 = 0\) và \[\left( {1 + \sqrt 5 } \right)x + 4\left( {1 - \sqrt 5 } \right)y - 8 = 0\].