Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho $A\left(1;0;2\right)$, $B\left(-3;2;0\right)$, $C\left(1;-2;4\right)$ và mặt phẳng $\left(P\right):x+y-z-1=0$. Điểm $M\left(a;b;c\right)$ thuộc mặt phẳng (P) sao cho $T=M{A}^2+2M{B}^2+M{C}^2$ đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó giá trị $a+b+c$ là

A. 0. 

B. $\frac{3}{4}$. 

C. 1. 

D. 2.

Gọi I là trung điểm AC và J là trung điểm BI. Suy ra $I\left(1;-1;3\right)$ và $J\left(-1;\frac{1}{2};\frac{3}{2}\right)$.
Khi đó $T=M{A}^2+2M{B}^2+M{C}^2=2M{B}^2+2M{I}^2+\frac{1}{2}A{C}^2=4M{J}^2+B{I}^2+\frac{1}{2}A{C}^2$.
Do đó T nhỏ nhất khi MJ ngắn nhất. Suy ra M là hình chiếu của J trên mặt phẳng (P).
Đường thẳng JM đi qua J và vuông góc với (P) mặt phẳng có phương trình là $\left\{\begin{array}{l}x=-1+t\\ y=\frac{1}{2}+t\\ z=\frac{3}{2}-t\end{array}\right.$.
Tọa độ điểm M tương ứng với x, y, z là nghiệm của hệ: $\left\{\begin{array}{l}x+y-z-1=0\\ x=-1+t\\ y=\frac{1}{2}+t\\ z=\frac{3}{2}-t\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}t=1\\ x=0\\ y=\frac{3}{2}\\ z=\frac{1}{2}\end{array}\right.$
Vậy $M\left(0;\frac{3}{2};\frac{1}{2}\right)\Rightarrow a+b+c=2$