Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC vuông tại C, $\widehat{ABC}=60°$, $AB=3\sqrt{2},$ đường thẳng AB có phương trình $\frac{x-3}{1}=\frac{y-4}{1}=\frac{z+8}{-4}$, đường thẳng AC nằm trên mặt phẳng $\left(\alpha \right):x+z-1=0$. Biết B là điểm có hoành độ dương, gọi (a;b;c) là tọa độ điểm C, giá trị của $a+b+c$ bằng

A. 3. 

B. 2. 

C. -4. 

D. 7.

Chọn B
Ta có A là giao điểm của đường thẳng AB với mặt phẳng $\left(\alpha \right)$. Tọa độ điểm A là nghiệm của hệ $\left\{\begin{array}{l}\frac{x-3}{1}=\frac{y-4}{1}=\frac{z+8}{-4}\\ x+z-1=0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=1\\ y=2\\ z=0\end{array}\right.$. Vậy điểm $A\left(1;2;0\right)$.
Điểm B nằm trên đường thẳng AB nên điểm B có tọa độ $B\left(3+t;4+t;-8-4t\right)$.
Theo giả thiết thì $t+3>0\iff t>-3$.
Do $AB=3\sqrt{2}$, ta có ${\left(t+2\right)}^2+{\left(t+2\right)}^2+16{\left(t+2\right)}^2=18\Rightarrow t=-1$ nên $B\left(2;3;-4\right)$.
Theo giả thiết thì $AC=AB\sin 60°=\frac{3\sqrt{6}}{2}$; $BC=AB.\cos 60°=\frac{3\sqrt{2}}{2}$.
Vậy ta có hệ $\left\{\begin{array}{l}a+c=1\\ {\left(a-1\right)}^2+{\left(b-2\right)}^2+c^2=\frac{27}{2}\\ {\left(a-2\right)}^2+{\left(b-3\right)}^2+{\left(c+4\right)}^2=\frac{9}{2}\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}a+c=1\\ 2a+2b-8c=9\\ {\left(a-1\right)}^2+{\left(b-2\right)}^2+c^2=\frac{27}{2}\end{array}\right.$
$\iff \left\{\begin{array}{l}a=\frac{7}{2}\\ b=3\\ c=-\frac{5}{2}\end{array}\right.$. Vậy $C\left(\frac{7}{2};3;-\frac{5}{2}\right)$ nên $a+b+c=2$.