Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(2; 2; 1), \[B\left( {\frac{{ - 8}}{3};\frac{4}{3};\frac{8}{3}} \right)\]. Viết phương trình đường thẳng đi qua tâm đường tròn nội tiếp tam giác OAB và vuông góc với mặt phẳng (OAB).

Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác OAB.

Đặt a = AB, b = OB, c = OA

Ta có: \[a.\overrightarrow {IO} + b.\overrightarrow {IA} + c.\overrightarrow {IB} = \overrightarrow 0 \]

• \[OA = \sqrt {{2^2} + {2^2} + {1^2}} = 3\]

• \[OB = \sqrt {{{\left( {\frac{{ - 8}}{3}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{4}{3}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{8}{3}} \right)}^2}} = 4\]

• \[AB = \sqrt {{{\left( {\frac{{ - 8}}{3} - 2} \right)}^2} + {{\left( {\frac{4}{3} - 2} \right)}^2} + {{\left( {\frac{8}{3} - 1} \right)}^2}} = 5\]

Do đó \[5.\overrightarrow {IO} + 4.\overrightarrow {IA} + 3.\overrightarrow {IB} = \overrightarrow 0 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_I} = \frac{{5.0 + 4.2 + 3.\frac{{ - 8}}{3}}}{{3 + 4 + 5}} = 0}\\{{y_I} = \frac{{5.0 + 4.2 + 3.\frac{4}{3}}}{{3 + 4 + 5}} = 1}\\{{z_I} = \frac{{5.0 + 4.2 + 3.\frac{8}{3}}}{{3 + 4 + 5}} = 1}\end{array}} \right.\]

Do đó tâm I(0; 1; 1)

Gọi \[\overrightarrow n \] là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (OAB). Khi đó:

\[\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {OA} ,\overrightarrow {OB} } \right] = (4; - 8;8) = 4(1; - 2;2)\]

Gọi (∆) là đường thẳng qua I và vuông góc với mặt phẳng (OAB).

Þ Vecto chỉ phương của (∆) là: \[\overrightarrow u = (1; - 2;2)\].

Phương trình chính tắc của (∆) là: \[\frac{x}{1} = \frac{{y - 1}}{{ - 2}} = \frac{{z - 1}}{2}\].

Vậy phương trình đường thẳng đi qua tâm đường tròn nội tiếp tam giác OAB và vuông góc với mặt phẳng (OAB) là \[\frac{x}{1} = \frac{{y - 1}}{{ - 2}} = \frac{{z - 1}}{2}\].