Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(1;2;-1), B(2;3;4), C(3;5;-2). Đường thẳng đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, vuông góc với AB, CD với $D\left(0;2;0\right)$.

A. . 

B. . 

C. . 

D. .

Chọn D
Gọi K là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, khi đó thuộc giao tuyến của hai mặt phẳng trung trực của AB và BC.
Mp trung trực của AB đi qua trung điểm $I\left(\frac{3}{2};\frac{5}{2};\frac{3}{2}\right)$ của AB và nhận vectơ $\overrightarrow{AB}=\left(1;1;5\right)$ làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình : $2x+2y+10z-23=0$.
Tương tự ta có phương trình mp trung trực của BC: $2x+4y-12z-9=0$.
Mặt khác $K\in \left(ABC\right)$. (ABC) đi qua $A\left(1;2;-1\right)$ và có VTPT $\overrightarrow{n}=\left[\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AB}\right]=\left(16;-11;-1\right)$ với $\overrightarrow{AB}=\left(1;1;5\right)$, $\overrightarrow{AC}=\left(2;3;-1\right)$ nên có phương trình: $16x-11y-z+5=0$.
Do đó toạ độ K là nghiệm của hệ phương trình : $\left\{\begin{array}{l}2x+2y+10z-23=0\\ 2x+4y-12z-9=0\\ 16x-11y-z+5=0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=\frac{5}{2}\\ y=4\\ z=1\end{array}\right.\Rightarrow K\left(\frac{{\displaystyle 5}}{{\displaystyle 2}};4;1\right)$Đường thẳng vuông góc với AB, CD nên có VTCP $\overrightarrow{u}=\left[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{CD}\right]=\left(17;-17;0\right)$ với $\overrightarrow{AB}=\left(1;1;5\right), \overrightarrow{CD}=\left(-3;-3;2\right)$, .

Vậy phương trình đường thẳng là: $\left\{\begin{array}{l}x=\frac{5}{2}+t\\ y=4-t\\ z=1\end{array}\right.$.