Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A (1;1;1), B (2;1;0), C (2;0;2). Gọi (P) là mặt phẳng chứa BC và cách A một khoảng lớn nhất. Hỏi vectơ nào sau đây là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P)?

Đáp án đúng là: A

Kẻ $AH\perp \left(P\right),AI\perp BC$. Ta có: $d\left(A;\left(P\right)\right)=AH\le AI$.

Khi đó AH lớn nhất khi H trùng với I

Suy ra: $AI\perp \left(P\right).$

 Gọi $BC:\left\{\begin{array}{l}B\left(2;1;0\right)\\ \overrightarrow{u}=\overrightarrow{BC}=\left(0;-1;2\right)\end{array}\right.$. Suy ra: $BC:\left\{\begin{array}{l}x=2\\ y=1-t\\ z=2t\end{array}\right.\left(t\in ℝ\right).$

Gọi $I\left(2;1-t;2t\right)$. Ta có: $\overrightarrow{AI}=\left(1;-t;2t-1\right)$, $AI\perp BC$

$\overrightarrow{AI}.\overrightarrow{BC}=t+2\left(2t-1\right)=0\iff 5t=2\iff t=\frac{2}{5}.$ Suy ra: $\overrightarrow{AI}=\left(1;-\frac{2}{5};-\frac{1}{5}\right).$ 

Chọn $\overrightarrow{n}=\left(5;-2;-1\right).$