Cho hàm số $f\left(x\right)=x^2+\left(a+x\right)\sqrt{x^2+1}+ax$. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $a\in \left(-20;20\right)$ sao cho đồ thị hàm số $y=f\left(x\right)$ có cùng một điểm cực trị $A\left(x_0;y_0\right)$ và $y_0<-5$?

Đáp án đúng là: C

$f\left(x\right)=x^2+\left(a+x\right)\sqrt{x^2+1}+ax=\left(a+x\right)\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)$.

Đặt $g\left(x\right)=x+\sqrt{x^2+1}>0\forall x$.

$f^{\text{'}}\left(x\right)=g\left(x\right)+\frac{\left(a+x\right)g\left(x\right)}{\sqrt{x^2+1}}$.

$f^{\text{'}}\left(x\right)=0\iff -a=x+\sqrt{x^2+1}$. (1)

Yêu cầu bài toán $\iff f^{\text{'}}\left(x\right)=0$ có nghiệm duy nhất $\iff a<0$.

mà $y_0<-5\iff f\left(x_0\right)<-5$ 

$\iff \left(a+x_0\right)\left(x_0+\sqrt{x_0^2+1}\right)<-5$

$\iff \sqrt{x_0^2+1}\left(x_0+\sqrt{x_0^2+1}\right)>5$

$\iff \frac{\sqrt{x_0^2+1}}{\sqrt{x_0^2+1}-x_0}>5$

$\iff \sqrt{x_0^2+1}>5\left(\sqrt{x_0^2+1}-x_0\right)$

$\iff 5x_0>4\sqrt{x_0^2+1}$$\iff \left\{\begin{array}{l}{x}_0>0\\ 25x_0^2>16x_0^2+16\end{array}\right.$$\iff x_0>\frac{4}{3}$. (2)

Từ (1) và (2), ta có $-a>\frac{4}{3}+\sqrt{{\left(\frac{4}{3}\right)}^2+1}=3\iff a<-3$.

Mà $a\in \left(-20;20\right)$ và $a\in \mathbb{Z}$ nên $a\in \left\{-19;-18;\mathrm{...};-4\right\}$. Vậy có 16 giá trị a thỏa mãn.