Đáp án đúng là: D

Điều kiện $z\ne 6$

Giả sử $z=x+yi\left(x,y\in \mathbb{Z}\right)$

Ta có $\left|z-m\right|=4\iff \left|x-m+yi\right|=4\iff {\left(x-m\right)}^2+y^2=16\left(C\right)$.

Lại có

$\frac{z}{z-6}=1+\frac{6}{z-6}=1+\frac{6}{x-6+yi}=1+\frac{6\left(x-6-yi\right)}{{\left(x-6\right)}^2+y^2}=1+\frac{6\left(x-6\right)}{{\left(x-6\right)}^2+y^2}-\frac{6y}{{\left(x-6\right)}^2+y^2}i$.

Khi đó $\frac{z}{z-6}$ là số thuần ảo khi $1+\frac{6\left(x-6\right)}{{\left(x-6\right)}^2+y^2}=0$

$\iff {\left(x-6\right)}^2+y^2+6\left(x-6\right)=0\iff {\left(x-3\right)}^2+y^2=9$ (C').

Như vậy (C) có tâm I (m;0), bán kính R = 4 và (C') có tâm I' (3;0), bán kính R' = 3.

Do đó $\overrightarrow{II\text{'}}=\left(3-m;0\right)$$\Rightarrow II\text{'}=\left|m-3\right|$.

Yêu cầu bài toán $\iff \left(C\right)$ và (C') tiếp xúc trong hoặc tiếp xúc ngoài

$\iff \left[\begin{array}{l}II\text{'}=\left|R-R\text{'}\right|=1\\ II\text{'}=R+R\text{'}=7\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}\left|m-3\right|=1\\ \left|m-3\right|=7\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}m=4\\ m=2\\ m=10\\ m=-4\end{array}\right.\Rightarrow S=12$.