Hàm số y = f(x) có đạo hàm liên tục trên R thỏa mãn f(0) = 2 và (2x +1).f'(x) - 3x^2 = 8x(x^2 + 1)+2(3 - f(x)). Tính diện tích

A. $S=\frac{1}{4}$

B. $S=\frac{3}{4}$

C. $S=\frac{2}{3}$

D. $S=\frac{1}{2}$

Trả lời

Đáp án đúng là: D

Ta có: $\left(2x+1\right).f^{\text{'}}\left(x\right)-3x^2=8x\left(x^2+1\right)+2\left(3-f\left(x\right)\right)$

$\iff \left(2x+1\right).f^{\text{'}}\left(x\right)+2f\left(x\right)=8x^3+3x^2+8x+6$

$\iff {\left[\left(2x+1\right).f\left(x\right)\right]}^{\text{'}}=8x^3+3x^2+8x+6$

$\Rightarrow \left(2x+1\right).f\left(x\right)=\int \left(8x^3+3x^2+8x+6\right)dx=2x^4+x^3+4x^2+6x+C$

Mà f(0) = 2 nên suy ra C = 2. Khi đó:

$\left(2x+1\right).f\left(x\right)=2x^4+x^3+4x^2+6x+2=\left(2x+1\right)\left(x^3+2x+2\right)\Rightarrow f\left(x\right)=x^3+2x+2$

Suy ra: $f\text{'}\left(x\right)=3x^2+2$

Phương trình hoành độ giao điểm hai đường cong y = f(x), y = f'(x) là:

$x^3+2x+2=3x^2+2\iff x^3-3x^2+2x=0\iff \left[\begin{array}{l}x=0\\ x=1\\ x=2\end{array}\right.$.

Vậy diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y = f(x), y = f'(x) bằng:

$S=\underset{0}{\overset{2}{\int }}\left|\left(x^3+2x+2\right)-\left(3x^2+2\right)\right|\text{d}x=\frac{1}{2}.$