Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang với AB song song với CD, CD = 7 AB.  Gọi M trên cạnh SA sao cho $\frac{SM}{SA}=k$, $\left(0<k<1\right)$. Tìm giá trị của k  để (CDM) chia khối chóp thành hai phần có thể tích bằng nhau.

Đáp án đúng là: B

Ta có: $\left(CMD\right)\cap \left(SAB\right)=\Delta \left\{\begin{array}{l}\text{qua\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}M\\ \text{//\hspace{0.17em}}CD\end{array}\right.$

Gọi $N=\Delta \cap SB\Rightarrow N=\left(CDM\right)\cap SB$. Khi đó, ta có: $\frac{SM}{SA}=\frac{SN}{SB}=k$

Đồng thời (CDM) chia khối chóp thành hai phần: S.CMND và ABCDMN.

Ta có: $V_{S.CDMN}=V_{S.DMC}+V_{S.MNC}$.

Lại có: $\frac{V_{S.DMC}}{V_{S.DAC}}=\frac{SM}{SA}=k$, $\frac{V_{S.MNC}}{V_{S.ABC}}=\frac{SM}{SA}.\frac{SN}{SB}=k^2$

Suy ra $V_{S.CDMN}=V_{S.DMC}+V_{S.MNC}=k{V}_{S.DAC}+k^2{V}_{S.ABC}$.

Mà $CD=7AB\Rightarrow S_{ACD}=7.S_{ABC}\Rightarrow V_{S.ACD}=7V_{S.ABC}$.

Do đó, ta có:

$V_{S.CDMN}=7k{V}_{S.ABC}+k^2{V}_{S.ABC}=\left(k^2+7k\right)V_{S.ABC}=\frac{1}{8}\left(k^2+7k\right)V_{S.ABCD}$.

Lại có $V_{S.CDMN}=\frac{1}{2}{V}_{S.ABCD}$ (do (CDM) chia thành hai phần có thể tích bằng nhau)

Suy ra $\frac{1}{8}\left(k^2+7k\right)V_{S.ABCD}=\frac{1}{2}{V}_{S.ABCD}\iff k^2+7k=4\iff k=\frac{-7+\sqrt{65}}{2}$.