Trong không gian Oxyz, cho 2 điểm A(1; 2; –3), M(–2; –2; 1) và đường thẳng  $d:\frac{x+1}{2}=\frac{y-5}{2}=\frac{z}{-1}$. ∆ là đường thẳng đi qua M và vuông góc với đường thẳng d đồng thời cách A một khoảng lớn nhất, khi đó ∆ đi qua điểm nào trong các điểm sau:

A. (–1; –2; 3); 

B. (2; –7; –1); 

Đáp án đúng là: B

∆ là đường thẳng đi qua M và vuông góc với đường thẳng d đồng thời cách A một khoảng lớn nhất khi AM ⊥ ∆

Khi đó ∆ có 1 VTPT là  $\overrightarrow{AM}\left(-3;-4;4\right)$

Đường thẳng d có 1 VTCP  $\overrightarrow{u_d}\left(2;2;-1\right)$

Vì ∆ ⊥ d nên ∆ nhận  $\overrightarrow{u_d}\left(2;2;-1\right)$ là 1 VTPT

Ta có:  $\left[\overrightarrow{AM};\overrightarrow{u_d}\right]=\left(-4;5;2\right)$

Khi đó ∆ có 1 VTCP  $\overrightarrow{u}\left(-4;5;2\right)$

Phương trình đường thẳng ∆ là:  $\left\{\begin{array}{l}x=-2-4t\\ y=-2+5t\\ z=1+2t\end{array}\right.$

Xét điểm (–1; –2; 3) ta có  $\left\{\begin{array}{l}-1=-2-4t\\ -2=-2+5t\\ 3=1+2t\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}t=\frac{-1}{4}\\ t=0\\ t=1\end{array}\right.$ (vô lý)

Suy ra (–1; –2; 3) ∉ ∆

Xét điểm (2; –7; –1) ta có  $\left\{\begin{array}{l}2=-2-4t\\ -7=-2+5t\\ -1=1+2t\end{array}\right.\iff t=-1$ 

Suy ra (2; –7; –1) ∈ ∆

Xét điểm (–1; 2; 3) ta có  $\left\{\begin{array}{l}-1=-2-4t\\ 2=-2+5t\\ 3=1+2t\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}t=\frac{-1}{4}\\ t=\frac{4}{5}\\ t=1\end{array}\right.$ (vô lý)

Suy ra (–1; 2; 3) ∉ ∆

Xét điểm (–1; –1; –3) ta có  $\left\{\begin{array}{l}-1=-2-4t\\ -1=-2+5t\\ -3=1+2t\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}t=\frac{-1}{4}\\ t=\frac{1}{5}\\ t=-2\end{array}\right.$ (vô lý)

Suy ra (–1; –1; –3) ∉ ∆

Vậy ta chọn đáp án B.