Trên khoảng ( 0,1) hàm số y= x^3+1/x đạt giá trị nhỏ nhất tại x0 bằng

A. $\frac{1}{2}$

B.$\frac{1}{\sqrt[4]{3}}$

C. $\frac{1}{\sqrt[3]{3}}$

D. $\frac{1}{\sqrt{3}}$

Trả lời

Chọn B

Do $x\in \left(0;1\right)$ nên $x^3>0$ và $\frac{1}{x}>0$.

Áp dụng bất đẳng thức Cau-chy cho bốn số dương $x^3$, $\frac{1}{3x}$, $\frac{1}{3x}$, $\frac{1}{3x}$ ta có

$x^3+\frac{1}{3x}+\frac{1}{3x}+\frac{1}{3x}\ge 4\sqrt[4]{x^3.\frac{1}{3x}.\frac{1}{3x}.\frac{1}{3x}}$$\iff x^3+\frac{1}{x}\ge 4\sqrt[4]{\frac{1}{27}}$.

Dấu $"=\text{'}\text{'}$ xảy ra khi $x^3=\frac{1}{3x}$$\iff x^4=\frac{1}{3}$$\iff x=\frac{1}{\sqrt[3]{3}}$.