Qua B vẽ đường thẳng song song với AC cắt A1B1 và B1C1 lần lượt tại K1 và M1.
Theo giả thiết: MK // AC
Mà M1K1 // AC (theo cách vẽ)
Suy ra: MK // M1K1.
Xét tam giác B1K1M1 có MK // M1K1
Suy ra: \[\frac{{MO}}{{B{M_1}}} = \frac{{OK}}{{B{K_1}}}\] (*)
Xét tam giác AB1C1 và tam giác BM1C1 có:
\(\widehat {A{C_1}{B_1}} = \widehat {B{C_1}{M_1}}\) (2 góc đối đỉnh)
\(\widehat {A{B_1}{C_1}} = \widehat {B{M_1}{C_1}}\) (2 góc so le trong vì AC // M1K1)
Suy ra: ∆AB1C1 ᔕ ∆BM1C1 (g.g)
Nên \(\frac{{B{M_1}}}{{A{B_1}}} = \frac{{B{C_1}}}{{A{C_1}}} \Rightarrow B{M_1} = A{B_1}.\frac{{B{C_1}}}{{A{C_1}}}\;\left( 1 \right)\)
Tương tự: ∆CB1A1 ᔕ ∆BK1A1 (g.g)
Nên \(\frac{{B{K_1}}}{{C{B_1}}} = \frac{{B{A_1}}}{{C{A_1}}} \Rightarrow B{K_1} = C{B_1}.\frac{{B{A_1}}}{{C{A_1}}}\;\left( 2 \right)\)
Lấy (1) chia (2) ta được:
\(\frac{{B{M_1}}}{{B{K_1}}} = \frac{{A{B_1}}}{{B{C_1}}}\,.\,\frac{{C{A_1}}}{{B{A_1}}}\,.\,\frac{{C{B_1}}}{{A{C_1}}} = 1\)(áp dụng định lí Xê–va)
Suy ra: BM1 = BK1 (**)
Từ (*) và (**), ta có: OM = OK
Vậy OM = OK.