Với n là số nguyên dương thỏa mãn \(3C_{n + 1}^3 + A_n^2 = 14\left( {n - 1} \right)\). Trong khai triển biểu thức (x³ + 2y²)ⁿ, gọi T_k là số hạng mà tổng số mũ của x và y của số hạng đó bằng 11. Hệ số của T_k là

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Điều kiện n ≥ 2; n \( \in \)ℕ.

Ta có \[3C_{n + 1}^3 + A_n^2 = 14\left( {n - 1} \right)\]\[ \Leftrightarrow 3.\frac{{\left( {n + 1} \right)!}}{{3!\left( {n - 2} \right)!}} + \frac{{n!}}{{\left( {n - 2} \right)!}} = 14\left( {n - 1} \right)\]

\[ \Leftrightarrow \frac{{\left( {n - 1} \right)n\left( {n + 1} \right)}}{2} + n\left( {n - 1} \right) = 14\left( {n - 1} \right)\]

\( \Leftrightarrow \) n² + 3n – 28 = 0

\( \Leftrightarrow \)n = – 7 hoặ n = 4

Kết hợp với điều kiện n = 4 thoả mãn

Ta có (x³ + 2y²)⁴ = (x³)⁴ + 4.(x³)³.(2y²) + 5.(x³)².(2y²)² + 4.(x³)¹.(2y²)³ + (2y²)⁴

= x¹² + 8x⁹.y² + 20x⁶.y⁴ + 32x³.y⁶ + 16y⁸

T_k là số hạng mà tổng số mũ của x và y của số hạng đó bằng 11 nên T_k = 8x⁹.y²