Câu hỏi:
29/12/2023 123
Với n là số nguyên dương thỏa mãn \(C_n^1 + C_n^2 = 10\), hệ số của x5 trong khai triển của biểu thức \({\left( {{x^3} + \frac{2}{x}} \right)^n}\) bằng
A. 0;
B. 8;
C. 20;
D. 32.
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Điều kiện n ≥ 2; n \( \in \)ℕ.
Ta có \(C_n^1 + C_n^2 = 55\)\( \Leftrightarrow n + \frac{{n\left( {n - 1} \right)}}{2} = 10\)
\( \Leftrightarrow \)n2 + n – 20 = 0
\( \Leftrightarrow \)n = – 5 hoặc n = 4
Kết hợp với điều kiện n = 4.
Ta có: (a + b)4 = a4 + 4a3b + 5a2b2 + 4ab3 + b4
Thay a = x3; b = \(\frac{2}{x}\) vào công thức ta có:
\({\left( {{x^3} + \frac{2}{x}} \right)^4} = {\left( {{x^3}} \right)^4} + 4{\left( {{x^3}} \right)^3}.\left( {\frac{2}{x}} \right) + 5.{\left( {{x^3}} \right)^2}.{\left( {\frac{2}{x}} \right)^2} + 4.{\left( {{x^3}} \right)^1}.{\left( {\frac{2}{x}} \right)^3} + {\left( {\frac{2}{x}} \right)^4}\)
\( = {x^{12}} + 8.{x^8} + 20.{x^4} + 32 + \frac{{16}}{{{x^4}}}\)
Vậy hệ số của x5 trong khai triển là bằng 0.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Điều kiện n ≥ 2; n \( \in \)ℕ.
Ta có \(C_n^1 + C_n^2 = 55\)\( \Leftrightarrow n + \frac{{n\left( {n - 1} \right)}}{2} = 10\)
\( \Leftrightarrow \)n2 + n – 20 = 0
\( \Leftrightarrow \)n = – 5 hoặc n = 4
Kết hợp với điều kiện n = 4.
Ta có: (a + b)4 = a4 + 4a3b + 5a2b2 + 4ab3 + b4
Thay a = x3; b = \(\frac{2}{x}\) vào công thức ta có:
\({\left( {{x^3} + \frac{2}{x}} \right)^4} = {\left( {{x^3}} \right)^4} + 4{\left( {{x^3}} \right)^3}.\left( {\frac{2}{x}} \right) + 5.{\left( {{x^3}} \right)^2}.{\left( {\frac{2}{x}} \right)^2} + 4.{\left( {{x^3}} \right)^1}.{\left( {\frac{2}{x}} \right)^3} + {\left( {\frac{2}{x}} \right)^4}\)
\( = {x^{12}} + 8.{x^8} + 20.{x^4} + 32 + \frac{{16}}{{{x^4}}}\)
Vậy hệ số của x5 trong khai triển là bằng 0.
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 4:
Trong khai triển nhị thức (a + 2)n - 5 (n \( \in \) ℕ). Có tất cả 6 số hạng. Vậy n bằng
Câu 7:
Hệ số của x2 trong khai triển (2 – 3x)3 là k. Nhận xét nào sau đây đúng về k ?
Câu 9:
Với n là số nguyên dương thỏa mãn \(3C_{n + 1}^3 + A_n^2 = 14\left( {n - 1} \right)\). Trong khai triển biểu thức (x3 + 2y2)n, gọi Tk là số hạng mà tổng số mũ của x và y của số hạng đó bằng 11. Hệ số của Tk là
Câu 12:
Cho số tự nhiên n thỏa mãn \[A_n^2 + 2C_n^n = 22\]. Hệ số của số hạng chứa x3 trong khai triển của biểu thức (3x – 4)n bằng
Câu 13:
Tính giá trị biểu thức \(T = C_4^0 + \frac{1}{2}C_4^1 + \frac{1}{4}C_4^2 + \frac{1}{8}C_4^3 + \frac{1}{{16}}C_4^4\)
