Tổng tất các nghiệm thuộc đoạn \[\left[ {0,10\pi } \right]\]của phương trình \[{\sin ^2}2x + \;3.\sin \;2x\; + \;2\; = \;0\]

A. \(\frac{{105}}{2}\pi \)

B. \(\frac{{105}}{4}\pi \)

C. \(\frac{{297}}{4}\pi \)

D. \(\frac{{299}}{4}\pi \)

Phương trình:\[si{n^2}2x{\rm{ }} + {\rm{ }}3sin2x{\rm{ }} + {\rm{ }}2{\rm{ }} = {\rm{ }}0\]

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{sin2x = - 1}\\{sin2x = - 2(VL)}\end{array}} \right. \Leftrightarrow sin2x = - 1\)

\[ \Leftrightarrow x = - \frac{\pi }{4} + k\pi ,\,k \in \mathbb{Z}\]

Ta có: \[x \in \left[ {0;10\pi } \right]\]

\[ \Rightarrow 0 \le - \frac{\pi }{4} + k\pi \le 10\pi \]

\[ \Rightarrow \frac{\pi }{4} \le k\pi \le \frac{{41\pi }}{4}\]

\[ \Rightarrow \frac{1}{4} \le k \le \frac{{41}}{4}\]

Mà \[k \in \mathbb{Z}\]nên \[k \in \left\{ {1;2;3;4;5;6;7;8;9;10} \right\}\]

Khi đó các nghiệm của phương trình là: \[x \in \left\{ {\frac{{3\pi }}{4};\frac{{7\pi }}{4};\frac{{11\pi }}{4};\frac{{15\pi }}{4};...;\frac{{39\pi }}{4}} \right\}\]

Vậy tổng các nghiệm của phương trình là: \[\frac{{3\pi }}{4} + \frac{{7\pi }}{4} + \frac{{11\pi }}{4} + \frac{{15\pi }}{4} + ... + \frac{{39\pi }}{4} = \frac{{105\pi }}{2}\]

Chọn đáp án A.